Question

A quantidade de números pares com algarismos distintos entre 1 e 2022 é:
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Answer 1

Números de 1 algarismo:

Evidentemente há 4 números pares.

Números de 2 algarismos:

Há 5 modos de se escolherem as unidades.

Caso 1: a unidade é distinta de 0 (4 opções).
Nessa circunstância, as dezenas devem ser distintas das unidades e de 0, portanto lhe restam 8 opções. Total:

$8 \cdot 4 = 32$

Caso 2: a unidade é 0.

Portanto as dezenas têm 9 opções. Total:

$9 \cdot 1 = 9$

Total de números de 2 algarismos:

$32 + 9 = 41$

Números de 3 algarismos:

Com o mesmo raciocínio aplicado aos números de 2 algarismos, escolhemos as unidades, e, dependendo de se estas forem 0, as centenas terão 8 ou 9 opções.

Caso 1: unidades são distintas de 0. Portanto há 8 opções para as centenas e 8 para as dezenas, já que estas últimas podem ser 0. Total:

$8 \cdot 8 \cdot 4 = 256$

Caso 2: unidades são 0. Consequentemente há 9 opções para as centenas e 8 para as dezenas. Total:

$9 \cdot 8 \cdot 1 = 72$

Total de números de 3 algarismos:

$256 + 72 = 328$

Números de 4 algarismos:

Como os milhares são os mais restritos, iniciaremos escolhendo estes. Há 2 opções $\{1,2\}$.

Caso 1: o milhar é 1.
As unidades têm 5 opções, as centenas 8 e as dezenas 7. Total:

$1 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 5 = 280$

Caso 2: o milhar é 2.

As centenas obrigatoriamente devem ser 0, para não tornar o número maior que 2022. As dezenas só podem ser 1, para serem distintas de $\{0,2\}$ e também manterem o número menor que 2022. As unidades têm 3 opções $\{4,6,8\}$. Total:

$1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 3 = 3$

Total de números de 4 algarismos:

$280 + 3 = 283$

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Total de números:

$4 + 41 + 328 + 283 = 656$

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