Question

A quantidade de números inteiros positivos maiores que 99 e menores que 999, com exatamente dois algarismos repetidos:

Answer 1

Nos problemas de contagem, é mais útil usar pensamento lógico que usar fórmulas.

Bom, queremos contar os números de 3 algarismos onde 2 deles se repetem.

Vamos analisar de duas formas separadas: com e sem o zero.

1) Sem o zero: temos 9 algarismos e usaremos 3 deles.

Os números repetidos podem ficar de 3 formas: no início (xx_), no fim (_xx), ou nas pontas (x_x).

Independente de qual das três situações, como eles se repetirão, vamos considerar então esses 2 números juntos como um só. Assim, sempre teremos 9 números para escolher que se repetirá. COmo o outro não pode se repetir, resta escolher entre os 8 que restaram. Assim, teremos:

3 . 9 . 8 = 216 possibilidades.

2) Considerando o zero. não podemos repeti-lo nas primeiras posições (00_), então haverá apenas 1 situação: zero nas pontas (_00). Nesse caso há 9 números para escolher na primeira posição.

Pode acontecer também de ter apenas um zero na ponta e os 2 primeiros se repetirem (_ _ 0). Nesse caso podemos escolher novamente 9 diferentes números.

Também pode acontecer de existir um zero no meio e os dois da ponta se repetirem (_ 0 _). Também haverá 9 possibilidades de escolha dos números da ponta, já que serão os mesmos.

Assim, juntando os 3 casos, teremos 9 + 9 + 9 = 27 possibilidades usando o zero.

Juntando tudo teremos 216 + 27 = 243 possibilidades.

Answer 2

Resposta:

243 possibilidades.

Explicação passo-a-passo:

Primeiramente, deve-se definir o total de possibilidades de formação de números entre 99 e 999.

Obs: na primeira casa colocamos 9 já que não podemos usar o zero.

Então fica assim: 9 · 10 · 10 = 900 possibilidades.

Agora vamos retirar os números que não queremos, que são:

Todos os números que tem o mesmo algarismo nas três casas. Ex: 111,222,333...

ou seja, 9 números

e todos os que são diferentes entre si. Para isso teremos:

9 · 9 · 8 = 648

Obs: na primeira casa não podemos colocar o zero; na segunda casa podemos colocar o zero, mas, como todos são diferentes, não podemos colocar 10 possibilidades e na última casa não podemos colocar nem o número usado na primeira casa e nem na segunda, ou seja, temos só 8 possibilidades.

e agora subtraímos os números que não queremos do total de possibilidades. teremos então: 900 - 9 - 648 = 243.