Question

A quantidade de números inteiros positivos formados de 5 algarismos não nulos e
distintos, em que 3 algarismos são pares e 2 algarismos são ímpares, é igual a

Answer 1

Imagine um anagrama, formado por 5 letras, sendo PPPII (pares e ímpares).

São $\dfrac{5!}{3!\cdot2!}=\dfrac{120}{6\cdot2}=10$ anagramas possíveis.

Precisamos escolher 3 algarismos pares dentre os 4 disponíveis.

Há 4 possibilidades para o primeiro, 3 para o segundo e 2 para o terceiro, $4\times3\times2=24$ maneiras.

E ainda precisamos escolher 2 algarismos ímpares dentre os 5 disponíveis. Há 5 posssibilidades para o primeiro e 4 para o segundo, $5\times4=20$ modos.

Logo, a resposta é $10\times24\times20=4800$


Também poderia fazer assim:

Escolhe 3 pares dentre os 4 de $\dbinom{4}{3}=4$ modos

Escolhe 2 ímpares dentre os 5 de $\dbinom{5}{2}=10$ modos.

Permuta os $5$ algarismos escolhidos de $5!=120$ maneiras.

A resposta seria $4\times10\times120=4800$, como antes