Question

A quantia de R$1000,00 foi aplicada a uma taxa de 1% ao mês . Por quanto tempo deve ser feita a aplicação para que o saldo seja de R$1051,01?

Answer 1

Olá Jamile,

Veja que qualquer aplicação à uma taxa simples pode ser calculada através de:
J = C*i*t
Onde:
J = Juros
C = Capital investido
i = Taxa de juros
t = Tempo de aplicação

Note que, necessariamente, as variáveis "i" e "t" devem possuir a mesma unidade de tempo. Por exemplo, se a taxa i é dada em "ao mês", o tempo t deve ser dado em "meses".

Com isso em mente, Veja que:
C = 1.000,
i = 1% = 0,01
J = 51,01
t = ?

Então:
51,01 = 1.000*0,1*t
51,01 = 10t
t = 51,01/10
t = 5,101 meses

Como 0,101 não representa um mês, podemos verificar quantos dias essa fração vale, através da regra de três:

1 mês está para 30 dias
0,101 mês está para x dias

Multiplicando em cruz:
x = 30*0,101
x ≈ 3 dias

Por fim, podemos concluir que essa aplicação deve ser feita durante aproximadamente 5 meses e 3 dias.

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Pedido através de juros compostos:
Jamile, assim como no cálculo de juros simples, os juros compostos e suas variáveis podem ser calculados com a relação:
$M = C(1+i)^{t}$

Onde:
M = Montante acumulado
C = Capital investido
i = Taxa de juros
t = Tempo de aplicação

Dessa forma, podemos equacionar:
$1051,01 = 1000(1,01)^{t} \\ \\ \frac{1051,01}{1000} = 1,01^{t} \\ \\ 1,05101 = 1,01^{t}$

Nesse momento, chegamos à uma equação exponencial onde a incógnita t está localizada no expoente de 1,01. Para encontrarmos seu resultado, primeiro devemos igualar as bases de ambos os lados da igualdade. Desse modo, vamos transformar 1,05101 em um número expoente de base 1,01. Veja:
1,01² = 1,0201
1,01³ = 1,030301
$1,01^{4} = 1,04060401 \\ 1,01^{5} = 1,0510100501$

Note que o número 1,05101 pode ser representado por aproximadamente $1,01^{5}$. Então, voltando à equação:

$1,05101 = 1,01^{t} \\ \\ 1,01^{5} = 1,01^{t}$

nesse momento, podemos cortar as bases da igualdade, sobrando:
$t = 5$

Então, concluí-se que o tempo de aplicação é de aproximadamente 5 meses.

Bons estudos!