Question

A)Qual o produto das raizes da equação $C_{x,3}=4$.
B)

Qual o valor de Y?
$\frac{C_{x,3}=4}{2x-4} =Y$

Answer 1

Olá Spawwn.


A -

Encontrando o produto das raízes da equação:


$\mathsf{C_{x,3}=\dfrac{x!}{(x-3)!\cdot 3!}=4}\\\\\\\mathsf{\dfrac{x\cdot(x-1)\cdot(x-2)\cdot(x-3)!}{(x-3)!\cdot 3\cdot2\cdot1}=4}\\\\\\\mathsf{x\cdot(x^2-2x-x+2)=4\cdot 6}\\\\\mathsf{x^3-3x^2+2x-24=0}$


Para encontrar o produto das raízes de uma equação polinomial do terceiro grau, podemos utilizar as relações de Girard:


$\mathsf{ax^3+bx^2+cx+d=0}~~~~onde~~~~\mathsf{a\neq0}\\\\\\\mathsf{x_1\cdot x_2\cdot x_3=\dfrac{-d}{a}}\\\\\\\mathsf{\overline{\qquad\qquad\qquad\qquad}}\\\\\\\mathsf{x^3-3x^2+2x-24=0}\\\\\\\mathsf{x_1\cdot x_2\cdot x_3=\dfrac{-(-24)}{1}}\\\\\\\boxed{\mathsf{x_1\cdot x_2\cdot x_3=24}}$


B - 

Encontrando as raízes da primeira equação:


$\mathsf{x^3-3x^2+2x-24=0}$


As possíveis raízes do polinômio acima, será um ou mais divisores do termo independente (24).

Fatorando 24:

24 | 2
12 | 2
  6 | 2
  3 | 3
   1

24 = 2³ . 3

Fazendo uma pesquisa das raízes, veremos que uma delas é o número 4.

Aplicando Briot Ruffini para ver se encontramos outras raízes inteiras:


$\begin{array}{c|c|c}&\mathsf{1~-3~~~~2}&\mathsf{-24}\\\mathsf{4}&\mathsf{\downarrow ~~~4~~~~4}&\mathsf{~24}\\&\mathsf{1~~~1~~~~6}&\mathsf{~0}\end{array}\\\\\\\\\mathsf{x^2+x+6=0}\\\\\\\mathsf{\Delta=1^2-4\cdot1\cdot6}\\\mathsf{\Delta=1-24}\\\mathsf{\Delta=-24~~~\gets~~Delta~negativo,~portanto~n\~ao~existe~ra\'izes~reais}$


Portanto a unica solução é x = 4.

Substituindo na equação:


$\mathsf{\dfrac{4}{2\cdot 4-4}=y}\\\\\\\mathsf{\dfrac{\diagup\!\!\!\!4}{\diagup\!\!\!\!4}=y}\\\\\\\boxed{\mathsf{1=y}}$


Dúvidas? comente.