Matemática, perguntado por leticiamartins21, 1 ano atrás

A) Qual a equação da reta tangente à curva y=x^2-3x no seu ponto de abscissa 4?

Soluções para a tarefa

Respondido por Lukyo

O coeficiente angular da reta tangente é o valor da derivada $\dfrac{dy}{dx}$ no ponto $x=4:$

$y=x^2-3x\\\\\\ \dfrac{dy}{dx}=2x-3\\\\\\ \left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{x=4}=2\cdot 4-3\\\\\\ \left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{x=4}=8-3\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{x=4}=5 \end{array}}$

O coeficiente da reta tangente é $m=5.$

____________________________

Quando $x=4\,,$

$y=4^2-3\cdot 4\\\\ y=16-12\\\\ y=4$

Logo, a reta tangente passa pelo ponto $A(4,\,4).$

_______________________

Equação da reta tangente:

$t:~y-y_{_{A}}=m\cdot (x-x_{_{A}})\\\\ t:~y-4=5\cdot (x-4)\\\\ t:~y-4=5x-20\\\\ t:~y=5x-20+4\\\\ \boxed{\begin{array}{c}t:~y=5x-16 \end{array}}$

leticiamartins21: Muitoooo obrigadaaa

Lukyo: Por nada! :-)

Respondido por solkarped

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a equação da reta tangente ao gráfico da referida função polinomial no referido ponto dado é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf t: y = 5x - 16\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Sejam os dados:

$\Large\begin{cases} y = x^{2} - 3x\\x = 4\end{cases}$

Sabendo que:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y = f(x)\end{gathered}$}$

Então, temos:

$\Large\begin{cases} f(x) = x^{2} - 3x\\x = 4\end{cases}$

Para calcular a reta tangente que toca o gráfico da referida função pelo ponto "P" devemos utilizar a forma "ponto/declividade" da reta que é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - y_{P} = m_{t}\cdot(x - x_{P})\end{gathered}$}$

Sendo:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf II\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y_{P} = f(x_{P})\end{gathered}$}$

Além disso sabemos também que o coeficiente angular da reta tangente é numericamente igual à derivada primeira da função no referido ponto, ou seja:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf III\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} m_{t} = f'(x_{P})\end{gathered}$}$

Substituindo "II" e "III" na equação "I", temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf IV\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - f(x_{P}) = f'(x_{P})\cdot(x - x_{P})\end{gathered}$}$

Substituindo os valores na equação "IV", temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - \left[4^{2} - 3\cdot4\right] = \left[2\cdot1\cdot4^{2 - 1} - 3\cdot4^{1 - 1}\right]\cdot(x - 4)\end{gathered}$}$