Question

A projeção ortogonal de A sobre a reta BC, sabendo-se que A = (3, 7), B = (1, 1) e C = (9, 6), terá as coordenadas da projeção:

a) x = 468/85; y = 321/89.
b) x = 478/87; y = 319/87.
c) x = 487/84; y = 321/87.
d) x = 457/89; y = 319/89.
e) x = 472/89; y = 295/89.

Answer 1

A projeção ortogonal de A sobre a reta BC terá coordenadas da projeção d) x = 457/89; y = 319/89.

Primeiramente, vamos calcular a equação da reta que passa pelos pontos B e C.

A equação reduzida da reta é igual a y = ax + b.

Substituindo os pontos B e C nessa equação, obtemos o seguinte sistema:

{a + b = 1

{9a + b = 6.

Da primeira equação, podemos dizer que b = 1 - a.

Substituindo o valor de b na segunda equação:

9a + 1 - a = 6

8a = 5

a = 5/8.

Logo, o valor de b é:

b = 1 - 5/8

b = 3/8.

A equação da reta é y = 5x/8 + 3/8.

Vamos supor que a projeção ortogonal do ponto A sobre a reta BC é A'.

Então, podemos dizer que A' = (x, 5x/8 + 3/8).

Para obtermos a projeção, vamos determinar os vetores AA' e BC:

AA' = (x - 3, 5x/8 + 3/8 - 7)

AA' = (x - 3, 5x/8 - 53/8)

e

BC = (9 - 1, 6 - 1)

BC = (8,5).

O produto interno entre AA' e BC tem que ser igual a zero, ou seja:

8(x - 3) + 5(5x/8 - 53/8) = 0

8x - 24 + 25x/8 - 265/8 = 0

64x - 192 + 25x - 265 = 0

89x = 457

x = 457/89.

Como y = 5x/8 + 3/8, então:

8y = 5.(457/89) + 3

8y = 2285/89 + 3

8y = 2552/89

y = 319/89.

Portanto, a projeção ortogonal de A é o ponto A' = (457/89,319/89).