Question

A profundidade de um rio na coordenada (x, y) é f(x,y)=200+0,05x2-0,002y3 onde x y e f são dados em metros. Considere que um pescador esteja no ponto de coordenada (40,20) e calcule a taxa de variação da profundidade se o pescador for na direção do vetor u=2/2i+2/2j

Assinale a alternativa que contém a variação aproximada da profundidade na direção de u

Alternativas:

a)
4 metros.
b)
-2,4 metros.
c)
1,13 metros.
d)
1,6 metros.
e)
6,4 metros.

Answer 1

Temos a função,

F(x) = 200+0,05x^2-0,002y^3

Para calcularmos a profundidade, devemos calcular o gradiente da função F(x)

Grad F(x) =dF(x)/dx i +dF(x)/dy j +dF(x)/dzk

Calculando cada derivada separadamente.

F(x) = 200+0,05x^2-0,002y^3

dF(x)/dx = 0 + 2(0,05x)-0

= 0,1x i
________________

F(x) = 200+0,05x^2-0,002y^3

dF(x)/dy = 0+0-3.(0,002y^2)

= -0,006y^2j
_________


F(x) = 200+0,05x^2-0,002y^3

dF(x)/dz = 0k

Logo, o gradiente tem apenas componentes i e j


= (0,1xi , -0,006y^2j)


Substituindo o ponto (40,20)

Grad F(40,20) = ( 4i , - 2,4j)

Sabemos que a taxa de produndidade é dado pelo:

Produdo escalar do gradiente • vetor unitário U


Onde,

U = √(2)/2i + √(2)/2 j

Logo,

VF(40,20) = (4i, -2,4j)•(√(2)/2i ,√(2)/2j

= 2√(2) - 1,2√(2)

~ 1,13m

Espero ter ajudado.