Question

A professora de Mariana pediu aos alunos que traçassem a altura, a bissetriz e a mediana em relação ao lado AB. O que Mariana e os alunos perceberam?

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Answer 1

Mariana e os outros alunos perceberam que a bissetriz, a mediana e a altura de um triângulo equilátero são coincidentes.

Essa questão vai envolver algumas propriedades específicas do triângulo equilátero. Vamos lá ?

Primeiramente, como eu sei que esse triângulo é equilátero ?

• Um triângulo será equilátero quando todos os seus lados tiverem a mesma medida. Como todos os três lados AC, AB e BC valem x então esse triângulo é equilátero.

Agora vamos falar um pouquinho sobre as cevianas desse triângulo.

1. A altura é um segmento de reta que sai de um vértice e chega no lado oposto formando 90º. Nesse caso, ela sai de C em forma 90º em AB.
2. A bissetriz é um segmento de reta que divide um ângulo em dois outros ângulos de mesma medida. Na figura dada, ela divide o ângulo do vértice C e chega em AB.
3. A mediana é um segmento de reta que sai de um vértice e chega exatamente no ponto médio do lado oposto. Ou seja, ela sai de C e divide o lado AB em duas partes de mesma medida.

Por fim vamos analisar cuidadosamente o que eu lhe disse a respeito dessas cevianas.

Se todos os segmentos de reta saem do mesmo vértice (do mesmo lugar, ou seja do ponto C) então elas obrigatoriamente são coincidentes. Isto é, num triângulo equilátero toda bissetriz é também mediana e altura.

• Observação : Além disso num triângulo equilátero os pontos notáveis (ortocentro, incentro, baricentro e circuncentro) são representados por um único ponto já que todas as cevianas de um vértice serão coincidentes. Ou seja, é como se para representar as três cevianas de um vértice eu desenhasse apenas um segmento de reta.