Question

a professora de literatura de um colégio pediu para que os alunos lessem três contos, duas novelas e um romance. para a leitura do conto, os alunos podem escolher entre 10 opções, para a novela, 6 opções e para o romance, 3 opções. supondo que cada aluno lerá apenas a quantidade mínima de livros, de quantas maneiras diferentes os alunos podem cumprir o que a professora pediu?

Answer 1

A quantidade de maneiras que os estudantes podem cumprir o que a professora pediu é 5.400.

Para responder essa questão é importante entender o conceito de combinação. Para isso é importante lembrar a fórmula da combinação:

• $C_{n,p}=\frac{n!}{p!(n - p)!}$ , onde n $\geq$ p.

Essa fórmula significa o número de possibilidades que a quantidade "n" pode ser agrupada, sendo formada por "p" elementos.

Aplicando essa equação na questão, tem-se que podem ser formadas 3 combinações, uma para cada tipo de livro. Dessa forma:

• Conto - $C_{10,3}=\frac{10!}{3!(10 - 3)!}$ (pois foi solicitado a escolha de 3 contos dentre 10 opções);
• Novela - $C_{6,2}=\frac{6!}{2!(6 - 2)!}$ (pois foi solicitado a escolha de 2 novelas dentre 6 opções);
• Romance - $C_{3,1}=\frac{3!}{1!(3 - 1)!}$ (pois foi solicitado a escolha de 1 romance dentre 3 opções).

Utilizando o Princípio fundamental da contagem (PFC), pode-se organizar as combinações da seguinte forma:

• $C_{10,3}=\frac{10!}{3!(10 - 3)!} *C_{6,2}=\frac{6!}{2!(6 - 2)!}*C_{3,1}=\frac{3!}{1!(3 - 1)!}$;

Resolvendo a equação acima tem-se:

$C_{10,3} *C_{6,2}*C_{3,1}\\ =\frac{10!}{3!(7)!} *\frac{6!}{2!(4)!}*\frac{3!}{1!(2)!}\\ =\frac{10*9*8*7!}{3!(7)!} *\frac{6*5*4!}{2!(4)!}*\frac{3*2!}{1!(2)!}\\ =\frac{10*9*8}{3!} *\frac{6*5}{2!}*\frac{3}{1!} \\ =\frac{720}{6} *\frac{30}{2}*\frac{3}{1}\\=120*15*3\\ =5.400$

Assim, a quantidade de possibilidades diferentes que os alunos podem cumprir o que foi pedido é 5.400.

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