Question

A produção P, em kg, de certo produto hortícola numa estufa depende da
temperatura t em graus centígrados e é dada pelo seguinte modelo:
P(t)= (t+1)².(32-t)

Determine a temperatura ideal para que a produção seja máxima.

Answer 1

A temperatura ideal para que a produção seja máxima é 21ºC.

Inicialmente, vamos escrever a expressão fornecida multiplicando seus termos, da seguinte maneira:

$P(t)=(t+1)^2\times (32-t)\\ \\ P(t)=(t^2+2t+1)\times (32-t)\\ \\ P(t)=-t^3+30t^2+63t+32$

Agora, vamos determinar a temperatura ideal para que a produção seja máxima. Quando trabalhamos com o máximo de uma função, devemos derivar sua função e igualar a zero. Como temos uma equação do terceiro grau, obtemos os valores referentes ao máximo e ao mínimo. Fazendo isso, obtemos:

$P'(t)=-3t^2+60t+63=0\\ \\ 3t^2-60t-63=0\\ \\ t_1=21\\ t_2=-1$

Note que chegamos a uma equação do segundo grau, onde obtemos as duas raízes t₁ e t₂. Uma vez que estamos trabalhando com temperatura, podemos ter valores negativos, então devemos considerar ambas as raízes. Com esses valores, a produção máxima será:

$P(21)=(21+1)^2\times (32-21)\\ P(21)=22^2\times 11=5324\\ \\ P(-1)=(-1+1)^2\times (32-(-1))\\ P(-1)=0^2\times 33=0$

Com isso, podemos concluir que a produção máxima ocorre quando a temperatura é 21ºC.