Question

A produção de um funcionário,quando relacionada ao número de horas trabalhadas, leva à função P(t)= -2 t^2 + 24 t.

a) em que momento a produção é máxima?
b) qual é a produção máxima?
c) em qual intervalo de tempo a produção é crescente?

Me ajudem, obrigado pela atenção!

Answer 1

$P(t)=-2t^{2}+24t$

Derivando P(t):

$P'(t)=-2\cdot2t^{2-1}+24\cdot1t^{1-1}\\\\\boxed{\boxed{P'(t)=-4t+24}}$

A derivada de P(t) é contínua, logo só teremos um ponto crítico, onde P'(t) = 0

$P'(t)=0\\-4t+24=0\\4t=24\\t=24/4\\t=6$

A função P(t) é crescente nos intervalos onde P'(t) é positiva

$P'(t)~\textgreater~0\\-4t+24~\textgreater~0\\-4t~\textgreater-24\\4t~\textless~24\\t~\textless~24/4\\t~\textless~6$

A função P(t) é decrescente nos intervalos onde P'(t) é negativa

$P'(t)~\textless~0\\-4t+24~\textless~0\\-4t~\textless-24\\4t~\textgreater~24\\t~\textgreater~24/4\\t~\textgreater~6$

a)

A produção é máxima em t = 6, pois P(t) é crescente para qualquer t menor que 6 e decrescente para qualquer t maior que 6 (existe ponto de máximo absoluto em t = 6)

b)

A produção máxima será dada por P(6)

$P(6)=-2\cdot6^{2}+24\cdot6\\\\P(6)=-2\cdot36+144\\\\P(6)=-72+144\\\\\boxed{\boxed{P(6)=72}}$

c)

Como vimos anteriormente, a produção é crescente para qualquer t < 6

Como o número de horas trabalhadas é maior ou igual a zero, a função é crescente no intervalo ]0,6[

Answer 2

P(t)= -2t²+24t      a=-2  , b=24   ,  c=0

a) 
Para encontrar o momento utilize o X do vértice: 
Xv= -b/2a
Xv=-24/ 2.(-2)
Xv=-24/-4
Xv=6
Em 6 horas trabalhadas a podução é máxima
b) 
Para a produção máxima utilize o Y do Vértice:
Yv= -Δ/4a
Yv= -(b²-4ac)/4a
Yv= -(24²-4.(-2).0) / 4.(-2)
Yv= -576 / -8
Yv= 72

Ou poderia apenas jogar o valor do xv acima na função:
P(t)= -2t²+24t
P(6)=-2.6² + 24.6
P(6)= -72 + 144
P(6)= 72

A produção máxima é de 72 unidades

c)
Como a<0  o intervalo de crescimento da função seria : ]-∞ , xv ] 
Como estamos falando de tempo. A resposta seria: [0 , 6]