A produção de carros de uma indústria automobilística é representada pela função F(x) = -x2 + 30x, onde f(x) representa a quantidade carros e x nº de dias. Determine:
→ O gráfico que representa a f(x)
→ Em que dia a produção foi máxima?
→ Nesse dia quantos carros foram produzidos?
→ Em que dia a fábrica fez 200 carros?
Soluções para a tarefa
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1
a) Essa é uma função do 2º grau, então o gráfico é uma parábola.O coeficiente do termo de 2º grau vale -1 , sendo, portanto negativo. Então sua parábola tem a concavidade voltada para baixo, como mostrado no gráfico que anexei aqui.
Para saber os pontos em que a parábola corta o eixo OX (eixo da abscissas), basta saber os valores de x para os quais y vale zero (basta lembrar que nos pontos em que o gráfico toca o eixo OX, nesses pontos, Y vale... zero, lembra?)
Então, temos que resolver essa equação: -x^2 + 30X = 0Essa é uma equação do 2º grau, que pode ser resolvida colocando o x em evidência: x(-x + 30)=0As 2 soluções (raízes) são: X1= 0 e X2= 30
Ou seja, o gráfico da função f(x)= -x^2 + 30x corta o eixo OX em x=0 e em x=30, como vc vê no gráfico que anexei aqui.
b) O eixo Y mostra a quantidade de carros produzidos em cada dia. Então, observando o gráfico, vemos que vc tem que encontrar o valor de y (isto é, f(x) ) do vértice da parábola, que é uma PONTO DE MÁXIMO da função (aliás, o único, pois trata-se de uma parábola, né).
No ponto de máximo, vc vê que a tangente ao gráfico é horizontal, o que significa dizer que o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico nesse ponto de máximo vale... zero!
Isso significa que a derivada da função naquele ponto, vale zero, certo?
A derivada da função -x^2 + 30X é : -2x + 30Agora, temos que ver para qual valor de x essa equação vale zero (reta tangente horizontal ao gráfico de f(x) )Temos: 2x + 30=0 Portanto, x=15
Então, em x=15, a reta tangente ao gráfico é horizontal.Então, aquele vértice da parábola tem o valor x=15
E qual é o valor de y (o número de carros produzidos), nesse dia 15?
Basta jogar esse valor x=15 na sua função: f(15)= -(15)^2 + 30 Assim, f(15)= 225
Ou seja, o vértice da parábola tem coordenadas x=15 e y=225Assim, no 15º dia a produção foi máxima e nesse dia foram produzidos 225 carros.
Note que na letra a) encontramos os pontos em que o gráfico da função corta o eixo OX, e agora, encontramos as coordenadas do vértice da parábola, o que já permite a vc "esboçar" a sua parábola, no plano cartesiano, certo?
c) Para saber em que dia foram fabricados 200 carros, basta lembrar que o nº de carros produzidos é o valor de y, isto é, o valor de f(x). Assim, basta colocar esse valor na função e encontrar o valor de x correspondente (x, lembrando, representa os dias). Então:
f(x)= -x^2 + 30x
200= -x^2 + 30x Passando o 200 para o 2º membro, ficamos com a eq. do 2º grau: -x^2 + 30x -200=0 Resolvendo essa equação com a fórmula de Báskara, encontramos as raízes: x1=10 e x2=20. Ou seja, no 10º dia e no 20º dia, a fábrica produziu 200 carros.
Td ok? Abraço!
Para saber os pontos em que a parábola corta o eixo OX (eixo da abscissas), basta saber os valores de x para os quais y vale zero (basta lembrar que nos pontos em que o gráfico toca o eixo OX, nesses pontos, Y vale... zero, lembra?)
Então, temos que resolver essa equação: -x^2 + 30X = 0Essa é uma equação do 2º grau, que pode ser resolvida colocando o x em evidência: x(-x + 30)=0As 2 soluções (raízes) são: X1= 0 e X2= 30
Ou seja, o gráfico da função f(x)= -x^2 + 30x corta o eixo OX em x=0 e em x=30, como vc vê no gráfico que anexei aqui.
b) O eixo Y mostra a quantidade de carros produzidos em cada dia. Então, observando o gráfico, vemos que vc tem que encontrar o valor de y (isto é, f(x) ) do vértice da parábola, que é uma PONTO DE MÁXIMO da função (aliás, o único, pois trata-se de uma parábola, né).
No ponto de máximo, vc vê que a tangente ao gráfico é horizontal, o que significa dizer que o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico nesse ponto de máximo vale... zero!
Isso significa que a derivada da função naquele ponto, vale zero, certo?
A derivada da função -x^2 + 30X é : -2x + 30Agora, temos que ver para qual valor de x essa equação vale zero (reta tangente horizontal ao gráfico de f(x) )Temos: 2x + 30=0 Portanto, x=15
Então, em x=15, a reta tangente ao gráfico é horizontal.Então, aquele vértice da parábola tem o valor x=15
E qual é o valor de y (o número de carros produzidos), nesse dia 15?
Basta jogar esse valor x=15 na sua função: f(15)= -(15)^2 + 30 Assim, f(15)= 225
Ou seja, o vértice da parábola tem coordenadas x=15 e y=225Assim, no 15º dia a produção foi máxima e nesse dia foram produzidos 225 carros.
Note que na letra a) encontramos os pontos em que o gráfico da função corta o eixo OX, e agora, encontramos as coordenadas do vértice da parábola, o que já permite a vc "esboçar" a sua parábola, no plano cartesiano, certo?
c) Para saber em que dia foram fabricados 200 carros, basta lembrar que o nº de carros produzidos é o valor de y, isto é, o valor de f(x). Assim, basta colocar esse valor na função e encontrar o valor de x correspondente (x, lembrando, representa os dias). Então:
f(x)= -x^2 + 30x
200= -x^2 + 30x Passando o 200 para o 2º membro, ficamos com a eq. do 2º grau: -x^2 + 30x -200=0 Resolvendo essa equação com a fórmula de Báskara, encontramos as raízes: x1=10 e x2=20. Ou seja, no 10º dia e no 20º dia, a fábrica produziu 200 carros.
Td ok? Abraço!
Anexos:
Usuário anônimo:
obrigada
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