Question

A produção de carros de uma indústria automobilística é representada pela função F(x) = -x2 + 30x, onde f(x) representa a quantidade carros e x nº de dias. Determine:

→ O gráfico que representa a f(x)
→ Em que dia a produção foi máxima?
→ Nesse dia quantos carros foram produzidos?
→ Em que dia a fábrica fez 200 carros?

Answer 1

Olá Debycharme tudo bem? Vamos começar?

→ O gráfico que representa a f(x) - neste caso a melhor forma de encontrarmos um gráfico de uma função é atribuindo valores para x, para que assim possamos encontrar suas imagens. Também encontrando suas raízes resolvendo a função e justamente nestas raízes é por onde o gráfico será cortado no eixo das abcissas ou x. Logo abaixo estarei postando uma imagem do gráfico feito no software geogebra. Outra observação importante é que o gráfico terá como uma das raízes o 0, pois o valor de c é igual a zero.

→ Em que dia a produção foi máxima? (Neste caso é só encontrar o Xv)
Para resolver essa questão, teremos que encontrar o Yv, observe que o coeficiente a é negativo, e isto implica que a curva do gráfico terá um valor máximo, chamado de Vértice que terá como coordenadas: V (Xv,Yv). Podemos calcular o Yv através de uma fórmula ou simplesmente encontrar o Xv e substituir na respectiva função, tomaremos a segunda opção:

Cálculo do Xv:

Xv = - b / 2*a --> Xv = - 30 / 2*(-1) --> Xv = - 30 / -2 --> Xv = 15.

Cálculo do Yv ou o valor máximo da função e ao mesmo tempo o dia em que a produção foi máxima:

f(Xv) = - Xv² + 30Xv --> f(15) = - 15² + 30*15 --> f(15) = - 15² + 30*15 -->

→ Nesse dia quantos carros foram produzidos? f(15) = - 225 + 450 --> f(15) = 225 carros. Troquei o item, acabei respondendo a letra c, no entanto vamos continuar... Para encontrarmos o dia em que a produção foi máxima, deveremos encontrar o Xv e isto já calculamos que é dia 15.

→ Em que dia a fábrica fez 200 carros? É somente substituir 200 no f(x) e encontrar o valor de x, logo:

f(x) = - x² + 30x --> 200 = - x² + 30x --> x² - 30x + 200 = 0 
Calculando as raízes por Bháskara ou soma e produto teremos: x' = 20 e x"=10. Neste caso temos dois dias em que foram fabricados 200 carros, no dia 10 e no dia 20.

Espero ter ajudado e desculpe-me se ficou algo confuso, abraços.