Matemática, perguntado por momaintenant25, 3 meses atrás

A probabilidade do Pedro passar em matemática é de 3/2 e a de passar em inglês é de 4/9. Se a probabilidade de que o Pedro passe em ambas é de 1/4, qual é a possibilidade de o Pedro passar pelo menos em uma das duas disciplinas?

Soluções para a tarefa

Respondido por ecm2

Pedro tem 31/36 de probabilidade de passar em ao menos uma das disciplinas.

Esse probleminha de probabilidade também trabalha muito bem a ideia de intersecção de conjuntos, veja onde a teoria dos conjuntos se encaixa nisso tudo na resolução.

---------------------------------- $\fbox{Considera{\c c}{\~o}es iniciais}$ --------------------------------------

(Obs: tomei como consideração, que na hora de escrever o enunciado, você escreveu 3/2 ao invés de 2/3, uma vez que, se a propabilidade de algo é 3/2 essa coisa tem 150% de chance de acontecer, o que é impossível em termos de probabilidade)

Nesse problema, diferentemente do que é visto em outros, a probabilidade de Pedro passar em matemática pode ser entendido com um conjunto com 2/3 dos casos totais, nesse conjunto estão incluídas os 1/4 dos casos em que Pedro passa nas duas matérias. O mesmo acontece com inglês.

------------------------------------------ $\fbox{Resolu{\c c}{\~a}o}$ ---------------------------------------------

Veja a imagem. O círculo A é o conjunto dos casos em que Pedro passa em Matemática; o círculo B é o conjunto dos casos em que Pedro passa em Inglês; a área em que os dois se sobrepõem seriam os casos em que passa em ambas.

Como queremos saber a probabilidade de que Pedro passe em ao menos uma das matérias basta sabermos a "quantidade" de casos que estão no círculo A e somar à "quantidade" de casos que estão no círculo B, mas não estão no círculo A. Ou seja, queremos saber a união do total de probabilidades.

Veja que se somarmos simplesmente:

$P(A) + P(B)$

(que seriam as probabilidade contidas em A somadas as probabilidades contidas em B) estaríamos dessa maneira somando duas vezes aquela área em que os dois círculos se encontram.

Por que?

Ora, se em P(A) estão contidas as probabilidades da intersecção, representada por $P(A) \cap P(B)$ , e se em P(B) também estão contidas essas mesmas probabilidades, significa que, somando $P(A) + P(B)$ , estamos somando essa área duas vezes.

Dessa maneira o que buscamos estaria denotado por:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Esse nada mais é senão o Teorema da Soma (pesquise sobre, é bem útil).

Portanto, teríamos:

$\LARGE P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\\\\\LARGE P(A \cup B) = \frac{2}{3} + \frac{4}{9} - \frac{1}{4}\\\\\LARGE P(A \cup B) = \frac{24 + 16 - 9}{36} \\\\\\\LARGE P(A \cup B) = \frac{31}{36}$