Question

A probabilidade de uma lâmpada se queimar ao ser ligada é 1/100. Numa instalação com 100 lâmpadas, qual a probabilidade de 2 lâmpadas se queimarem ao serem ligadas?

Answer 1

Distribuição binomial:

Primeiro precisamos determinar o número de maneiras de escolher as 2 lâmpadas que vão se queimar ao serem ligadas.

Veja que a ordem de escolha não importa. Podemos escolher 2 lâmpadas dentre as 100 de

$\dbinom{100}{2}=\dfrac{100!}{98!\cdot2!}=\dfrac{100\cdot99\cdot98!}{98!\cdot2!}=\dfrac{100\cdot99}{2}= 4950$ maneiras

A probabilidade de uma lâmpada se queimar ao ser ligada é $\dfrac{1}{100}$. Assim, a probabilidade de duas lâmpadas se queimarem é $\left(\dfrac{1}{100}\right)^2$.

Já a probabilidade de uma lâmpada não se queimar ao ser ligada é $\dfrac{99}{100}$. Deste modo, a probabilidade de $98$ lâmpadas não se queimarem é $\left(\dfrac{99}{100}\right)^{98}$.

Logo, a resposta é:

$\text{P}=4950\cdot\left(\dfrac{1}{100}\right)^2\cdot\left(\dfrac{99}{100}\right)^{98}$

$\text{P}=4950\cdot\dfrac{99^{98}}{100^2\cdot100^{98}}$

$\text{P}=\dfrac{4950\cdot99^{98}}{100^{100}}$

Answer 2

A probabilidade de 2 lâmpadas se queimarem é 0,1848.

Essa questão é sobre distribuição binomial. A distribuição binomial pode ser calculada através de uma chance de sucesso p entre n tentativas:

$P(x = k) = \dfrac{n!}{k!(n - k)!} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{(n - k)}$

Dados e cálculo da probabilidade

• A probabilidade p da lâmpada se queimar é 1/100 (0,01);
• O número n de lâmpadas é 100;
• Queremos a probabilidade de exatamente duas lâmpadas se queimarem (k = 2).

Aplicando a distribuição binomial, temos:

$P(x = 2) = \dfrac{100!}{2!(100 - 2)!} \cdot 0,01^2 \cdot (1 - 0,01)^{(100 - 2)}\\P(x = 2) = \dfrac{100 \cdot 99 \cdot 98!}{2\cdot 98!} \cdot 0,01^2 \cdot 0,99^{98}\\P(x = 2) = 0,1848$

Leia mais sobre distribuição binomial em:

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