Question

A probabilidade de um casal com quatro filhos ter dois do sexo masculino e dois do sexo feminino é:

Answer 1

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Um casal tem 4 filhos.

Para cada filho há duas possibilidades de gênero: masculino (M) ou feminino (F).


Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, o total de possibilidades para os gêneros dos filhos é

$\mathsf{\#(\Omega)=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}\\\\ \mathsf{\#(\Omega)=2^4}\\\\ \mathsf{\#(\Omega)=16}\quad\longleftarrow\quad\textsf{(n\'umero de casos poss\'iveis).}\qquad\checkmark$

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Evento $\mathsf{E:}$   2 filhos são do sexo masculino, e 2 filhos são do sexo feminino.

Uma configuração seria esta:      M    M    F    F  


Calcular de quantas formas podemos ter dois masculinos e dois femininos é equivalente a calcular a quantidade de anagramas que esta palavra tem:

   M    M    F    F   


Palavra com 4 letras, com 2 repetições da letra M e 2 repetições da letra F:

(permutação de 4 letras, com repetição de 2 letras M, e 2 letras F)

$\mathsf{\#(E)=P_{4}^{2,\,2}}\\\\ \mathsf{\#(E)=\dfrac{4!}{2!\cdot 2!}}\\\\\\ \mathsf{\#(E)=\dfrac{4\cdot 3\cdot \diagup\!\!\!\!\! 2!}{2!\cdot \diagup\!\!\!\!\! 2!}}\\\\\\ \mathsf{\#(E)=\dfrac{4\cdot 3}{2\cdot 1}}$

$\mathsf{\#(E)=\dfrac{12}{2}}\\\\\\ \mathsf{\#(E)=6}\quad\longleftarrow\quad\textsf{(n\'umero de casos favor\'aveis).}\qquad\checkmark$

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•   A probabilidade procurada é

$\mathsf{p=\dfrac{\#(E)}{\#(\Omega)}}\\\\\\ \mathsf{p=\dfrac{6}{16}}\\\\\\ \mathsf{p=0,\!375}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{p=37,\!5~\%} \end{array}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a resposta.}$


Bons estudos! :-)


Tags:   princípio fundamental da contagem pfc permutação com repetição anagrama binomial análise combinatória probabilidade

Answer 2

Vamos primeiro determinar quantos casos são possíveis para o nascimento.

Total = 2ⁿ

Total = 2⁴

Total = 16 ( espaço amostral)

Queremos 2 Homem e 2 Mulheres.

H H M M

são os casos desejados. Permutando porque podem nascer em qualquer ordem, temos

P = 4! / 2!2!

P = 4*3*2!/2!2!

P = 12/2

P = 6 ( desejado)

Logo a probabilidade é:

P = D / total

P = 6/16

P = 3/8 ou

P = 0,375 ou

P = 37,5%