Question

A probabilidade de um casal com quatro filhos ter dois do sexo masculino e dois do sexo femenino

Answer 1

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Um casal tem 4 filhos.

Para cada filho há duas possibilidades de gênero: masculino (M) ou feminino (F).


Logo, o total de possibilidades para os gêneros dos filhos é

$\mathsf{\#(\Omega)=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}\\\\ \mathsf{\#(\Omega)=2^4}\\\\ \mathsf{\#(\Omega)=16}\quad\longleftarrow\quad\textsf{(n\'umero de casos poss\'iveis).}\qquad\checkmark$

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Evento $\mathsf{E:}$   2 filhos são do sexo masculino, e 2 filhos são do sexo feminino.

Uma configuração seria esta:      M    M    F    F 
 

Calcular de quantas formas podemos ter dois masculinos e dois femininos é equivalente a calcular a quantidade de anagramas que esta palavra tem:

   M    M    F    F 
 

Palavra com 4 letras, com 2 repetições da letra M e 2 repetições da letra F:

$\mathsf{\#(E)=P_{4}^{2,\,2}}\\\\ \mathsf{\#(E)=\dfrac{4!}{2!\cdot 2!}}\\\\\\ \mathsf{\#(E)=\dfrac{4\cdot 3\cdot \diagup\!\!\!\!\! 2!}{2!\cdot \diagup\!\!\!\!\! 2!}}\\\\\\ \mathsf{\#(E)=\dfrac{4\cdot 3}{2\cdot 1}}$

$\mathsf{\#(E)=\dfrac{12}{2}}\\\\\\ \mathsf{\#(E)=6}\quad\longleftarrow\quad\textsf{(n\'umero de casos favor\'aveis).}\qquad\checkmark$

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•   A probabilidade procurada é

$\mathsf{p=\dfrac{\#(E)}{\#(\Omega)}}\\\\\\ \mathsf{p=\dfrac{6}{16}}\\\\\\ \mathsf{p=0,\!375}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{p=37,\!5~\%} \end{array}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a resposta.}$


Bons estudos! :-)


Tags:   princípio fundamental da contagem pfc permutação com repetição anagrama binomial análise combinatória probabilidade