Question

A probabilidade de encontrar gás numa certa região é de 1/10. Três sondas idênticas estão perfurando de modo independente.
(a) Sabendo-se que uma delas (qualquer) não achou gás, qual a probabilidade das outras duas encontrarem?
(b) Sabendo-se que uma delas (qualquer) não achou gás, qual a probabilidade de encontrar gás na região através dessas perfurações?
(c) Sabendo que não há mais de uma delas (qualquer) achou gás, qual a probabilidade de nenhuma encontrar g´as?
encontrar g´as?

Answer 1

Seja $X$ o número de sondas que encontram gás na perfuração, e $Y$ o números de sondas que não encontraram ($Y=3-X$)

Como as três sondas perfuram de forma independente, temos que $X$ possui distribuição binomial, com parâmetros $n=3$ (tamanho da amostra, número das sondas) e $p=\frac{1}{10}$ (probabilidade de sucesso: nesse caso, de encontrar gás). 

Podemos concluir também que $Y\sim\mathtt{Bin}(3,\,\frac{9}{10})$
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a)

Estamos interessados em calcular $P(X=2\,|\,Y\ge1)$ (probabilidade de duas sondas encontrarem gás, dado que pelo menos uma das três não encontrou)

Pela definição de probabilidade condicional:

$P(X=2\,|\,Y\ge1)=\dfrac{P(X=2,\,Y\ge1)}{P(Y\ge1)}=\dfrac{P(X=2)}{P(Y\ge1)}$

Pois o evento $\{X=2\}\cap\{Y\ge1\}$ é o evento "duas encontrarem gás e pelo menos 1 não encontrar", que é equivalente ao evento "duas das três encontrarem gás", representado por $X=2$

Agora, calcularemos as probabilidades separadamente:

Como $X\sim\mathtt{Bin}(3,\,\frac{1}{10})$, temos

$P(X=n)=\binom{3}{n}(\frac{1}{10})^{n}(1-\frac{1}{10})^{3-n},\,\,n\in\{0,1,2,3\}}$

Então:

$P(X=2)=\displaystyle\binom{3}{2}\bigg(\frac{1}{10}\bigg)^{2}\bigg(\frac{9}{10}\bigg)^{3-2}\\\\\\P(X=2)=\dfrac{3!}{2!(3-2)!}\times\dfrac{1}{100}\times\frac{9}{10}\\\\\\P(X=2)=3\times\frac{9}{1000}\\\\\\\boxed{P(X=2)=\dfrac{27}{1000}}$

Por outro lado, $Y\sim\mathtt{Bin}(3,\,\frac{9}{10})$, então

$P(Y=n)=\binom{3}{n}(\frac{9}{10})^{n}(1-\frac{9}{10})^{3-n}~~\mathsf{para~n\in\{0,1,2,3\}}$

logo

$P(Y\ge1)=1-P(Y\,\textless\,\,1)=1-P(Y=0)=1-\binom{3}{0}(\frac{9}{10})^{0}(\frac{1}{10})^{3}\\\\\\\therefore~~\boxed{P(Y\ge1)=1-1\times1\times\dfrac{1}{1000}=1-\dfrac{1}{1000}=\dfrac{999}{1000}}$

Finalmente:

$P(X=2)\,|\,Y\ge1)=\dfrac{P(X=2)}{P(Y\ge1)}\\\\\\P(X=2)\,|\,Y\ge1)=\dfrac{\big(\frac{27}{1000}\big)}{\big(\frac{999}{1000}\big)}\\\\\\P(X=2)\,|\,Y\ge1)=\dfrac{27}{1000}\times\dfrac{1000}{999}\\\\\\P(X=2)\,|\,Y\ge1)=\dfrac{27}{999}\\\\\\\boxed{\boxed{P(X=2)\,|\,Y\ge1)=\dfrac{1}{37}}}$
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b)

Agora queremos encontrar $P(X\ge1\,|\,Y\ge1)$ (probabilidade de ter pelo menos uma sonda encontrando gás [isto é, encontrar gás na região], dado que pelo menos uma sonda não encontrou)

Pela definição:

$P(X\ge1\,|\,Y\ge1)=\dfrac{P(X\ge1,\,Y\ge1)}{P(Y\ge1)}$

O evento $\{Y\ge1\}$ é equivalente ao evento $\{X\le2\}$, logo

$P(X\ge1\,|\,Y\ge1)=\dfrac{P(X\ge1,\,X\le2)}{P(Y\ge1)}=\dfrac{P(\{X=1\}\cup\{X=2\})}{P(Y\ge1)}\\\\\=\dfrac{P(X=1)+P(X=2)}{P(Y\ge1)}$

Já temos a probabilidade do denominador. Basta encontrar as do numerador:

$P(X=1)=\displaystyle\binom{3}{1}\bigg(\frac{1}{10}\bigg)^{1}\bigg(\frac{9}{10}\bigg)^{2}=3\times\frac{1}{10}\times\frac{81}{100}=\dfrac{243}{1000}\\\\\\P(X=2)=\binom{3}{2}\bigg(\dfrac{1}{10}\bigg)^{2}\bigg(\frac{9}{10}\bigg)^{1}=3\times\frac{1}{100}\times\frac{9}{10}=\frac{27}{1000}$

Logo:

$P(X\ge1\,|\,Y\ge1)=\dfrac{P(X=1)+P(X=2)}{P(Y\ge1)}\\\\\\P(X\ge1\,|\,Y\ge1)=\dfrac{\big(\frac{243}{1000}\big)+\big(\frac{27}{1000}\big)}{\big(\frac{999}{1000}\big)}\\\\\\P(X\ge1\,|\,Y\ge1)=\dfrac{\big(\frac{270}{1000}\big)}{\big(\frac{999}{1000}\big)}\\\\\\P(X\ge1\,|\,Y\ge1)=\dfrac{270}{999}\\\\\\\boxed{\boxed{P(X\ge1\,|\,Y\ge1)=\dfrac{10}{37}}}$
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c)

Agora, queremos encontrar $P(X=0\,|\,X\le1)$ (probabilidade de nenhuma encontrar gás, dado que uma ou menos encontrou gás)

$P(X=0\,|\,X\le1)=\dfrac{P(X=0,\,X\le1)}{P(X\le1)}=\dfrac{P(X=0)}{P(X\le1)}$

Vamos calcular as probabilidades do numerador e denominador:

$P(X=0)=\displaystyle\binom{3}{0}\bigg(\frac{1}{10}\bigg)^{0}\bigg(\frac{9}{10}\bigg)^{3}=1\times1\times\frac{729}{1000}=\dfrac{729}{1000}$

Além disso,

$P(X\le1)=P(\{X=0\}\cup\{X=1\})\\\\P(X\le1)=P(X=0)+P(X=1)\\\\P(X\le1)=\dfrac{729}{1000}+\dfrac{243}{1000}~~(\mathsf{calculadas~anteriormente})\\\\\\\boxed{P(X\le1)=\frac{972}{1000}}$

Então, finalmente,

$P(X=0\,|\,X\le1)=\dfrac{P(X=0)}{P(X\le1)}\\\\\\P(X=0\,|\,X\le1)=\dfrac{\big(\frac{729}{1000}\big)}{\big(\frac{972}{1000}\big)}\\\\\\P(X=0\,|\,X\le1)=\dfrac{729}{972}\\\\\\\boxed{\boxed{P(X=0\,|\,X\le1)=\dfrac{3}{4}}}$