Question

A prefeitura de uma pequena cidade do interior do Ceará decidiu intensificar, durante o carnaval, uma campanha que tinha por finalidade alertar os brincantes sobre os riscos no excesso de consumo de bebidas alcoólicas bem como os cuidados necessários para evitar a transmissão de doenças sexualmente transmissíveis (DSTs). Cada brincante que comparecesse à festa de carnaval promovida pela prefeitura receberia uma linda sacola contendo 4 itens diferentes. As equipes da prefeitura responsáveis pela montagem dessas sacolas escolheriam esses 4 itens entre 8 tipos diferentes de preservativo e 5 tipos diferentes de medicamentos (remédio para dor, náuseas, vômitos, etc.). Em cada sacola, deveria haver, pelo menos, um item que fosse preservativo e, pelo menos, um item que fosse medicamento.

Quantos tipos de sacolas distintas puderam ser feitos?

Answer 1

Para responder a essa questão, devemos nos lembrar de alguns conceitos de análise combinatória.

Primeiro, vamos retirar os dados da questão:

• A prefeitura irá oferecer uma sacola com capacidade para 4 itens.
• Existem 8 tipos de preservativo.
• Existem 5 tipos de medicamentos.
• Obrigatoriamente, deve haver na sacola pelo menos 1 preservativo e 1 medicamento.

Quantos tipos de sacola puderam ser feitos?

Os itens podem ser distribuídos da forma abaixo:

• 1º caso: 3 preservativos e 1 medicamento.

ou

• 2º caso: 2 preservativos e 2 medicamentos.

ou

• 3º caso: 1 preservativo e 3 medicamentos.

Para responder a essa questão, iremos utilizar a fórmula da combinação simples.

$C_{n,p}=\dfrac{n!}{p!(n-p)!}$

Resolvendo:

1º caso:

preservativos:

$C_{8,3}=\dfrac{8!}{3!(8-3)!} \\\\C_{8,3}=\dfrac{8!}{3!\cdot5!}\\\\C_{8,3}=\dfrac{8\cdot7\cdot\not6\cdot\not{5!}}{\not3\cdot\not2\cdot1\cdot\not{5!}}\\\\C_{8,3}=8 \cdot 7\\\\\boxed{C_{8,3}=56}$

medicamentos:

$C_{5,1}=\dfrac{5!}{1!(5-1)!} \\\\C_{5,1}=\dfrac{5!}{1!\cdot4!}\\\\\\C_{5,1}=\dfrac{5\cdot\not4!}{\not4!}\\\\\boxed{C_{5,1}=5}$

Perceba que no 1º caso nós devemos usar a regra do "e", ou seja, multiplicar as possibilidades. Sendo assim:

$C_{8,3} \cdot C_{5,1}\\\\56 \cdot 5=280\:possibilidades$

2º caso:

preservativos:

$\boxed{C_{8,2}=28}$

medicamentos:

$\boxed{C_{5,2}=10}$

Regra do "e":

$C_{8,2} \cdot C_{5,2}\\\\28\cdot10 = 280\:possibilidades$

3º caso:

preservativos:

$\boxed{C_{8,1}=8}$

medicamentos:

$\boxed{C_{5,3}=10}$

Regra do "e":

$C_{8,1} \cdot C_{5,3}\\\\8 \cdot 10 = 80\:possibilidades$

Agora iremos voltar naquela distribuição do início da questão e usar a regra do "ou", ou seja, somar todas as possibilidades dos três casos:

$Caso_1 + Caso_2 + Caso_3\\\\280+280+80=640$

Portanto, puderam ser feitos 640 tipos distintos de sacolas.

Espero ter ajudado! Aprenda mais em:

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