Question

A posição relativa entre a reta 2x – 3y + 6 = 0 e a circunferência (x – 5)² + (y – 1)² = 13 é:
a) Pertencente
b) Exterior
c) Secante
d) Tangente
e) Interior

Answer 1

responta: 1 - (C) secante

Answer 2

Resposta:

Solução:

$\sf \displaystyle r: 2x -3y + 6 =0$

$\sf \displaystyle C: (x -5)^2 + (y -1)^2 = 13$

A posição de uma reta em relação a uma circunferência:

Distância da reta ao centro da circunferência.

É dadas a reta r: Ax + By + C = 0 e a circunferência: (x - a)² + (y - b)² = r²:

Vamos determinar, inicialmente, as coordenadas do centro e o raio:

Então, $\sf \textstyle C\:(5, 1)$  e  $\sf \textstyle r = \sqrt{13}$.

Agora vamos determinar a distância entre o centro e a reta:

$\sf \displaystyle d = \dfrac{\mid Aa + Bb +C \mid}{\sqrt{A^2 + B^2} }$

$\sf \displaystyle d = \dfrac{\mid 2 \cdot 5 -3 \cdot 1 + 6 \mid}{\sqrt{2^2 + (-3)^2} }$

$\sf \displaystyle d = \dfrac{\mid 10 -3 + 6 \mid}{\sqrt{4 + 9} }$

$\sf \displaystyle d = \dfrac{\mid 7 + 6 \mid}{\sqrt{4 + 9} }$

$\sf \displaystyle d = \dfrac{\mid 13 \mid}{\sqrt{13} }$

$\sf \displaystyle d = \dfrac{ 13 }{\sqrt{13} } \cdot \dfrac{\sqrt{13} }{\sqrt{13} }$

$\sf \displaystyle d = \dfrac{ 13\:\sqrt{13} }{\sqrt{13^2} }$

$\sf \displaystyle d = \dfrac{ 13\:\sqrt{13} }{13 }$

$\sf \displaystyle d = \dfrac{ \diagup{\!\!\!13} \:\sqrt{13} }{\diagup{\!\!\!13} }$

$\sf \displaystyle d = \sqrt{13}$

Comparando d e r, temos d = r.

Logo, a reta r  Tangente à circunferência.

Alternativa correta é o item D.

Explicação passo-a-passo: