Question

A posição relativa entre a reta 2x – 3y + 6 = 0 e a circunferência (x – 5)² + (y – 1)² = 13 é:

Answer 1

Resposta:

A reta é tangente à circunferência.

Explicação passo-a-passo:

Enunciado:

A posição relativa entre a reta  " t " , 2x – 3y + 6 = 0 e a circunferência

(x – 5)² + (y – 1)² = 13 é:

Resolução:

A equação reduzida de qualquer circunferência é do tipo:

( x - a )² + ( y - b )² = r²

Com coordenadas do centro ( a ; b) e raio igual a " r "

A equação reduzida desta circunferência, está quase na forma adequada.

Falta só um pequeno pormenor

(x – 5)² + (y – 1)² = 13

que é o segundo membro ficar na forma " raio ² "

Assim, deve ficar:

( x – 5 )² + ( y – 1 )² = (√13 )²

Conhecemos agora que o raio = √13

E tem centro de coordenadas ( 5 ; 1 )

 

De seguida calcula-se a distância do centro da circunferência à reta dada.

Existe uma fórmula que dá diretamente o valor dessa distância.

Vou usar este conceito " dC,t " que significa :  distância do ponto C a uma reta " t "

$d C,t = |ax0 + b y0 + c | / (\sqrt{a^{2} +b^{2} }$

Os valores de " a " , "b "  e "c" são elementos da equação geral de uma qualquer reta do tipo:

ax + by + c = 0

Aqui temos :  

2x – 3y + 6 = 0

a =   2

b = - 3

c =   6

O x0 e y0 são as coordenadas de um ponto ( neste caso o centro da circunferência)  de que se está a calcular a distância a uma determinada reta.

Preenchamos a fórmula:

$d C,t = |2 * 5 - 3 * 1 + 6 | / (\sqrt{2^{2} +( - 3 )^{2} }$

$d C,t = | 10 - 3 + 6 | / \sqrt{4 + 9}$

$d C,t = | 13| / \sqrt{13}$

Temos uma fração irracional.    

Para a passar a fração racional, temos que multiplicar o numerador e o denominador por  $\sqrt{13}$  ( neste caso )

(há mais formas de se racionalizar frações, mas é esta que se aplica aqui )

$d C,t = ( | 13| * \sqrt{13} ) / ( \sqrt{13} * \sqrt{13} )$

$d C,t = ( 13 * \sqrt{13} ) / 13$

Podemos retirar o sinal de módulo  (  |     |  ). porque o módulo de um número positivo dá esse número.

Nota : O denominador dá " 13 " porque √13 * √13 = ( √13)² = 13

Agora o " 13 " do numerador cancela-se com o " 13 " do denominador

$d C,t = ( 13 * \sqrt{13} ) / 13$

$d C,t = \sqrt{13}$ u.m

Sabemos agora que a reta do enunciado está a uma distância de √13 u.m. do centro da circunferência.

E que o raio é igual a √13.  

O que é o significado de a distância da reta ao centro da circunferência

seja igual à medida do raio?

Apenas isto :

a reta e a têm um ponto comum à circunferência

logo

Reta é tangente à circunferência

Encontrou-se a posição relativa desta reta a esta circunferência.

Bom estudo.

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Sinais : ( * ) multiplicar      ( / )   dividir    ( u. m. )   unidade de medida

( |     |  )    módulo  ou valor absoluto

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Nas respostas que dou, quase na totalidade, procuro não só efetuar os cálculos, mas também explicar o porquê de como e porque se fazem , de determinada maneira.

Se quer ver apenas os cálculos, eles estão aqui.

Se quer aprender como se faz, eu ensino.