A posição relativa entre a circunferência C1: x² + y² – 8x + 6y + 24 = 0 e a circunferência C2: x² + y² – 4x + 10y + 4 = 0 é:
Soluções para a tarefa
Resposta:
A circunferência C1 está no interior de circunferência C2.
Explicação passo-a-passo:
Enunciado:
A posição relativa entre a circunferência C1: x² + y² – 8x + 6y + 24 = 0 e a circunferência C2: x² + y² – 4x + 10y + 4 = 0 é:
Resolução:
Estas circunferências estão na sua equação geral.
Vamos as passar para a equação reduzida, que é da forma:
C: ( x - a)² + ( y - b )² = r²
Onde o centro tem de coordenadas ( a ; b ) e o raio é " r "
1ª Etapa - passar para equações reduzidas das circunferências
Para fazer esta mudança vai necessitar de saber o que é " completar um quadrado".
Este quadrado perfeito tem a ver com o produto notável, que é :
o "quadrado da soma" ou " quadrado da diferença".
C1: x² + y² – 8x + 6y + 24 = 0
Cálculos auxiliares:
Agora vou apenas centrar minha atenção em completar o quadrado partindo de dados do enunciado. Vejamos.
Com x² - 8x + ..... quero completar este espaço para que me apareça
( x - .... )² .
Aqui começa a estar o início deste processo
Em x² - 8x + ..... , neste espaço vazio vou acrescentar " metade do coeficiente do termo em x , elevado ao quadrado."
Fica pois:
x² - 8x + (8/2)²
= x² - 8x + 4²
= ( x - 4 )²
Está completado este quadrado
O outro fica:
y² + 6y + (6/2)²
= y² + 6y + 3²
= ( y + 3 )²
Também este.
Uma questão muito importante.
O sinal do termo em "x" , o " - 8x " , este sinal vai-se repetir na fase final de completar o quadrado ( x - 4)².
Se for " + " o sinal também se repete no fim.
Continuando a resolução.
x² + y² – 8x + 6y + 24 = 0
Tudo o que não for os quadrados perfeitos passa para segundo membro , trocando o sinal.
Por outro lado acrescentei valores ao primeiro membro.
Tenho que acrescentar iguais valores no segundo membro, para não criar uma equação diferente da original.
( x - 4 )² + ( y + 3 )² = - 24 + (8/2)² + (6/2)²
( x - 4 )² + ( y + 3 )² = - 24 + 4²+ 3²
( x - 4 )² + ( y + 3 )² = - 24 + 25
( x - 4 )² + ( y + 3 )² = 1²
( x - 4 )² + ( y - ( - 3 ) )² = 1²
C1: tem centro ( 4 ; - 3 ) e raio = 1
C2: x² + y² – 4x + 10y + 4 = 0
x² – 4x + y² + 10y + 4 = 0
( x² – 4x + ( 4/2)² ) + ( y² + 10y + (10/2)² ) = - 4 + ( 4/2)² + (10/2)²
(x - 2 )² + ( y + 5)² = - 4 + 4 +25
(x - 2 )² + ( y + 5)² = 5²
C2: tem centro ( 2 ; - 5 ) e raio = 5
2ª Etapa - Calcular a distância entre os centros das duas circunferências.
Distância de centro de C1 a centro de C2
Distância entre centros é de 2,83 u.m..
Uma tem de raio 5 u.m.
Outra tem de raio 1 u.m.
distância de centros < ( c2 - c1 )
2,83 < 5 - 1
A circunferência C1 está no interior de circunferência C2.
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Sinais: ( u.m.) unidade de medida ( < ) menor do que
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