Question

A posição relativa entre a circunferência C1: (x – 3)² + (y – 2)² = 49 e a circunferência C2: (x + 3)² + (y + 6)² = 25 é:

Answer 1

Resposta:

As circunferências são secantes.  

Explicação passo-a-passo:

Enunciado:

A posição relativa entre a circunferência C1: (x – 3)² + (y – 2)² = 49 e a circunferência C2: (x + 3)² + (y + 6)² = 25 é:

Resolução:

Como já se tem as equações reduzidas das circunferências, a resolução torna-se rápida.

Se tivesse as equações gerais das circunferências, tinha que as " manipular" até as ter  na forma das que aqui estão.

Quando tem as equações na forma

( x - a )² + ( y - b )² = r²

Sabe imediatamente as coordenadas do centro e a medida do raio.

São C ( a ; b )     e raio = r

1 ª etapa - Estudo das circunferências

Análise da circunferência C1

C1  tem centro em ( 3 ; 2 )

raio = √49 = 7 u.m.

Análise da circunferência C2

C2 tem centro ( - 3 ; - 6 )    (*)

raio = √25 = 5 u.m.

(*) repare que a equação que dá a circunferência C2 não está na forma

( x - a )² + ( y - b )² = r²

O sinal antes do valor "a" e do valor "b" tem que ser negativo.

Por isso tem que se fazer pequenos ajustes para que ela mostre as coordenadas do seu centro.

Não criamos novas circunferências.

Fica assim :

C2: ( x + 3 )² + ( y + 6 )² = 25

⇔

C2: ( x - ( - 3) )² + ( y - ( - 6) )² = 5²

Peço a sua atenção porque se não fizer estas modificações , seu exercício estará errado.

2ª etapa - Calcular a distância entre os dois centros

Calcula-se através da fórmula de distância entre dois pontos

$dc1_c2= \sqrt{(x2 - x1) ^2+ (y2 - y1 )^2}$

$dc1_c2= \sqrt{(-3 - 3) ^2+ (-6 - 2)^2}$

$dc1_c2= \sqrt{6 ^2+ (- 8)^2}$

$dc1_c2= \sqrt{36+ 64}$

$dc1_c2= \sqrt{100} = 10$ u.m.

( x2 ; y2)   coordenadas do centro de circunferência C2

( x1 ; y1 )    coordenadas do centro de circunferência C1  

3ª etapa - Comparar distância entre centros e a soma dos raios  

10 < 7 + 5

10 < 12

A distância entre os raios é menor que a soma dos raios, então as circunferências são secantes.

Têm dois pontos em comum.

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Sinais: ( u.m.)  unidade de medida      ( < )  menor do que

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