Question

a posição de um objeto que se move ao longo de um eixo x é dada por x=2t-5t^2+4t^3, onde x está em metro e t em segundos. (a)Qual é a velocidade média para o intervalo de tempo de t=2s a t=4s?(b) A velocidade instantânea em t =4s; (c) a aceleração média durante o intervalo de tempo de t=2s e t=4s;(d) e a aceleração instantânea de t=4s

Answer 1

Resposta:

Solução:

$\sf \displaystyle X = 2t - 5t + 4t^3 \quad (S .I)$

(a) Qual é a velocidade média para o intervalo de tempo de t = 2 s a t = 4 s?

$\sf \displaystyle X = 2t - 5t^2 + 4t^3$

$\sf \displaystyle X_0 = 2\cdot 2 - 5 \cdot 2^2 + 4\cdot2^3$

$\sf \displaystyle X_0 = 4 - 5 \cdot 4 + 4\cdot 8$

$\sf \displaystyle X_0 = 4 - 20 + 32$

$\sf \displaystyle X_0 = -16 + 32$

$\sf \displaystyle X_0 = 16 \:m$

$\sf \displaystyle X = 2t - 5t^2 + 4t^3$

$\sf \displaystyle X_1 = 2\cdot 4 - 5 \cdot 4^2 + 4\cdot 4^3$

$\sf \displaystyle X_1 = 8 - 5 \cdot 16 + 4\cdot 64$

$\sf \displaystyle X_1 = 8 - 80 +256$

$\sf \displaystyle X_1 = -72 +256$

$\sf \displaystyle X_1 = 184 \: m$

A velocidade média da partícula no intervalo de tempo:

$\sf \displaystyle V_m = \dfrac{\Delta S}{\Delta t} = \dfrac{X_1 - X_0 }{t_1 -t_0} = \dfrac{168}{2}$

$\boxed{ \boxed { \boldsymbol{ \sf \displaystyle V_m = 84\:m/s }}} \quad \gets \mathbf{ Resposta }$

(b) A velocidade instantânea em t = 4 s;

Corresponde à derivada da função x(t):

$\sf \displaystyle v = \dfrac{dx}{dt} = \dfrac{d}{dt} = 2 - 10t + 12t^2$

$\sf \displaystyle V = 2 - 10t + 12t^2$

$\sf \displaystyle V = 2 - 10 \cdot 4 + 12 \cdot 4^2$

$\sf \displaystyle V = 2 - 40 + 12 \cdot 16$

$\sf \displaystyle V = - 38 + 192$

$\boxed{ \boxed { \boldsymbol{ \sf \displaystyle V = 154\:m/s }}} \quad \gets \mathbf{ Resposta }$

(c) a aceleração média durante o intervalo de tempo de t = 2 s e t = 4 s;

Derivada da função das velocidades

$\sf \displaystyle V = 2 - 10t + 12t^2$

$\sf \displaystyle a = \dfrac{dv}{dt} = 10+ 24t$

$\sf \displaystyle V'(t) = 10+24t$

$\sf \displaystyle V'(2) = 10+24 \cdot 2$

$\sf \displaystyle V'(2) = 10+ 48$

$\sf \displaystyle V'(2) = 58\;m/s$

$\sf \displaystyle V'(t) = 10+24t$

$\sf \displaystyle V'(4) = 10+24 \cdot 4$

$\sf \displaystyle V'(4) = 10+ 96$

$\sf \displaystyle V'(4) = 106 \;m/s$

$\sf \displaystyle a_m = \dfrac{\Delta V}{\Delta t } = \dfrac{ 106 - 58}{4 -2} = \dfrac{48}{2}$

$\boxed{ \boxed { \boldsymbol{ \sf \displaystyle a_m = 24\:m/s^2 }}} \quad \gets \mathbf{ Resposta }$

(d) e a aceleração instantânea de t = 4s.

$\sf \displaystyle a = 10 +24\cdot t$

$\sf \displaystyle a = 10 +24\cdot 4$

$\sf \displaystyle a = 10 +96$

$\boxed{ \boxed { \boldsymbol{ \sf \displaystyle a = 106\:m/s^2 }}} \quad \gets \mathbf{ Resposta }$

Explicação:

Velocidade média está ligada a um intervalo de tempo ∆t.

Velocidade instantânea a um instante de tempo t.