Question

A população P de uma colônia de bactérias do gênero Bacillus após t dias do início de um experimento pode ser modelada pela função cúbica abaixo:
P(t) = 1,035t³ + 103,5t² + 6.900t + 230.000

Pede-se para essa situação:

a) Qual a população inicial de bactérias?

b) Quanto tempo a população leva para dobrar de tamanho?

c)Com que taxa a população está variando no momento em que dobra de tamanho?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Guilherme, que a sua questão é esta:

"A população P de uma colônia de bactérias do gênero Bacillus, após "t" dias do início de um experimento, pode ser modelada pela função cúbica abaixo:

P(t) = 1,035t³ + 103,5t² + 6.900t + 230.000"

Tendo em vista a equação acima, são pedidas as seguintes informações:

a) Qual a população inicial de bactérias?
Resposta: para isso, basta que substituamos "t' por "0", pois como "t" significa os dias passados a partir da sua modelação, então na situação inicial ainda não teria passado nenhum dia. Logo, substituindo-se "t" por "0", teremos:

P(0) = 1,035*0³ + 103,5*0² + 6.900*0 + 230.000
P(0) = 0 + 0 + 0 + 230.000
P(0) = 230.000 <--- Esta é a população inicial de bactérias. Então esta é a resposta para o item "a".

b) Quanto tempo a população leva para dobrar de tamanho?
Resposta: Para isso, substituiremos P(t) pelo dobro da população inicial (230.000). Assim, o dobro de 230.000 é: 2*230.000 = 460.000.
Logo, substituindo P(t) por 460.000, teremos:

460.000 = 1,035t³ + 103,5t² + 6.900t + 230.000 ---- passando "460.000" para o 2º membro, ficamos com:

0 = 1,035t³ + 103,5t² + 6.900t + 230.000 - 460.000
0 = 1,035t³ + 103,5t² + 6.900t - 230.000 --- vamos apenas inverter, ficando:
1,035t³ + 103,5t² + 6.900t - 230.000 = 0 ----- aplicando as relações de Girard, encontraremos uma única raiz real e NÃO EXATA e aproximadamente igual a:

t' = 23,3 dias (aproximadamente) <--- Esta é a resposta para a o item "b".

As demais raízes são complexas, o que não vai interessar para a nossa questão.

Assim, a população levará "23,3" dias (aproximadamente) para dobrar de tamanho.

c) Com que taxa a população está variando no momento em que dobrou de tamanho?
É aqui que vamos refazer a nossa resposta.
Para isso, vamos derivar a expressão encontrada quando a população dobrou de tamanho, que era esta: P(t) = 1,035t³ + 103,5t² + 6.900t - 230.000 

Agora vamos derivar, com o que ficaremos assim:

P'(t) = 3*1,035t² + 2*103,5t + 6.900
P'(t) = 3,105t² + 207t + 6.900

Finalmente, agora vamos substituir "t" por "23,3" (23,3 dias, que foram os dias passados para que a população dobrasse). Assim:

P'(23,3) = 3,105*(23,3)² + 207*(23,3) + 6.900
P'(23,3) = 3,105*(542,89) + 207*(23,3) + 6.900
P'(23,3) = 1.685,67 + 4.823,10 + 6.900
P'(23) = 13.408,77 ---- que poderemos arredondar para "13.409" (já que os números aqui são apenas aproximados). Logo:

P'(23) = 13.409 bactérias/dia <---- Esta será a resposta para o item "c". 

É isso aí.

OK?
Adjemir.