Question

A população de uma colônia de bactérias é dada por P(t)= $\frac{24t+10}{3t^2+1 }$ milhares, t horas após a introdução de uma toxina. Com que taxa a população está variando 1 h após a toxina ser introduzida? A população estará aumentando ou diminuindo?

Answer 1

Derivando a equação você obtém a taxa de variação.

Aplicando a regra do quociente para a derivada:

u/v = (u'v – uv') / v²

$\frac{dp}{dt} = \frac{24 \times ( {3t}^{2} + 1) - (24t + 10) \times 6t }{ {(3 {t}^{2} + 1) }^{2} } = \frac{72 {t}^{2} + 24 -144 {t}^{2} - 60t}{ {(3 {t}^{2} + 1) }^{2} } = \frac{ - 72 {t}^{2} - 60t + 24 }{ {(3 {t}^{2} + 1) }^{2} }$
chegamos para a equação que nos fornece a taxa de variação instantânea, isto é, a velocidade:

$\frac{dp}{dt} = \frac{ - 72 {t}^{2} - 60t + 24}{ {(3 {t}^{2} + 1)}^{2} }$
Substituindos os t's por 1, que se refere a 1 hora:

$\frac{dp}{dt} = \frac{ - 72 { \times 1}^{2} - 60 \times 1+ 24}{ {(3 { \times 1}^{2} + 1)}^{2} } = \frac{ - 72 - 60 + 24}{ {(3 + 1)}^{2} } = \frac{ - 108}{ {4}^{2} } = \frac{ - 108}{16}$

a velocidade é –108/16 população em milhares por anos. Simpliciano o resultado -27/4. Como é negativo, a população está diminuindo