Question

A população de uma cidade no interior de Minas Gerais tem aumentado em média 3% a cada ano em relação ao ano
anterior. A população no ano t, tem sido de P(t) = Po.1,03"sendo Po a população inicial.
Considere log 3 = 0,48 e log 1,03 -0.01.
Qual o tempo necessário, em anos, para que a população triplique em relação à população inicial?


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Answer 1

Resposta:49 anos

Explicação passo-a-passo:

Answer 2

Utilizando propriedades de logaritmos, temos que para esta população triplicar, deve-se passar pelo menos 48 anos.

Explicação passo-a-passo:

Então temos que nos foi dada a seguinte função população para Minas Gerais:

$P(t)=P_0\cdot 1.03^{t}$

Onde 'P' é a população atual, 'Po' é a população inicial e 't' o tempo passado em anos desde a população inicial.

Assim se queremos que a população triplique, queremos dizer que o valor de 'P' deve ser igual a três vezes o inicial ficando '3Po', assim substituindo isto na equação ficamos com:

$P(t)=P_0\cdot 1.03^{t}$

$3P_0=P_0\cdot 1.03^{t}$

Como temos 'Po' dos dois lados multiplicando, podemos corta-lo do dois lados:

$3=1.03^{t}$

Agora o calculo está bem mais simples, basta aplicarmos logaritmo de base 10 dos dois lados:

$3=1.03^{t}$

$Log(3)=Log(1.03^{t})$

Sabemso que em logaritmos, podemos "expulsar" expoentes de dentro deles, transformando estes em multiplicações fora do logaritmo, ou seja:

$Log(3)=Log(1.03^{t})$

$Log(3)=t\cdot Log(1.03)$

E agora basta substituir os valores de Log(3) por 0,48 e Log(1,03) por 0,01:

$Log(3)=t\cdot Log(1.03)$

$0.48=t\cdot 0.01$

Isolando 't', ficamos com:

$t=\frac{0.48}{0.01}$

$t=48$

Assim, temos que para esta população triplicar, deve-se passar pelo menos 48 anos.

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