Question

a população de uma cidade aumentava a taxa de 5% ao ano se a população atual e de 500000 e a taxa de aumento e proporcional ao numero de pessoas qual sera a população daqui a 10 anos

Answer 1

Olá Carlos! 

Seja a equação dado por:


$P(t) = P_{o} e^k^t$


Onde, Po é a população inicial.

Porém, iremos considerar Po = 500000

Assim sendo, teremos:

$\\ P(0) = P_{o} e^k^*^0 \\ \\ 5000000 = P_{o}$

Substituindo na formula:

$P(t) = 500000e^k^t$

Agora, observe que devemos calcular o valor de k 

No entanto, sabemos que:

Em 1 ano, a população aumenta em 5%

Calculando 5% de 500000

P(1) = 500000+ 0,05x500000

P(1) = 525000
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Logo,


$\\ P(1) = 500000e^k^*^1 \\ \\ 525000 = 500000e^k \\ \\ \\ 525 = 500e^k \\ \\ e^k = \frac{525}{500} \\ \\ e^k = 1,05 \\ \\ ln(e^k) = ln(1,05) \\ \\ k = ln(1,05)$

logo,

$P(t) = 500000e^L^n^(^1^,^0^5^)^t$

Substituindo t = 10



$\\ P(10) = 500000e^L^n^(^1^,^0^5^)^*^1^0 \\ \\ P(10) = 814.447,31 hab$

Answer 2

No instante inicial, a população aumentava a uma taxa de 5% ao ano, sendo que a população nesse instante é $\mathtt{P(0)=500\,000~habitantes.}$

Sendo assim, temos a seguinte condição:

$\mathtt{P'(0)=5\%\cdot P(0)}\\\\ \mathtt{P'(0)=0,\!05\cdot 500\,000}$

$\boxed{\begin{array}{c}\mathtt{P'(0)=25\,000~hab/ano}\end{array}}$   <———    taxa de crescimento da população no início do estudo.

______


Porém, a taxa de aumento da população é proporcional à própria população naquele instante. Dessa forma, devemos ter

$\mathtt{P'(t)=k\cdot P(t)}\\\\ \mathtt{P'(t)-k\cdot P(t)=0}$


Fator integrante:

$\mathtt{\mu(t)=e^{\int-k\,dt}}\\\\ \mathtt{\mu(t)=e^{-kt}>0,}\quad\quad\texttt{para todo }\mathtt{t\ge 0.}$


Multiplicando os dois lados da EDO pelo fator integrante, obtemos

$\mathtt{e^{-kt}\cdot \big(P'(t)-k\cdot P(t)\big)=e^{-kt}\cdot 0}\\\\ \mathtt{e^{-kt}\cdot P'(t)-ke^{-kt}\cdot P(t)=0}$


Enxergamos o lado esquerdo como a derivada de um produto:

$\mathtt{\big(e^{-kt}\cdot P(t)\big)'=0}$


Primitivando os dois lados em $\mathtt{t},$ temos

$\mathtt{e^{-kt}\cdot P(t)=C}\\\\ \mathtt{P(t)=Ce^{kt}}\quad\quad{\mathtt{(i)}$


Derivando,

$\mathtt{P'(t)=C\cdot ke^{kt}}\quad\quad{\mathtt{(ii)}}$

_________

Fazendo $\mathtt{t=0}$ nas equações ${\mathtt{(i)}}$ e ${\mathtt{(ii)}},$ obtemos

•   $\mathtt{P(0)=Ce^{k\cdot 0}}$

$\mathtt{500\,000=C\cdot 1}\\\\ \mathtt{C=500\,000}$


•   $\mathtt{P'(0)=C\cdot ke^{k\cdot 0}}$

$\mathtt{25\,000=500\,000\cdot k}\\\\ \mathtt{k=\dfrac{25\,000}{500\,000}}\\\\\\ \mathtt{k=0,05}$

__________

A função que descreve a população neste problema é

$\boxed{\begin{array}{c}\mathtt{P(t)=500\,000e^{0,05t}} \end{array}}\quad\quad\texttt{com }\mathtt{t\ge 0}$


Portanto, para $\mathtt{t=10~anos},$ temos

$\mathtt{P(10)=500\,000e^{0,\!05\cdot 10}}\\\\ \mathtt{P(10)=500\,000e^{0,5}}\\\\ \mathtt{P(10)=500\,000\cdot 1,\!649}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathtt{P(10)=824\,500~habitantes} \end{array}}$


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)