Question

A população de ratos de uma cidade é dada pela função P(t) = Co.2-kt onde Co e K são constantes. O número de ratos vivos hoje é 16000. Se daqui a 3 anos restam apenas 8000 ratos, calcule:
a) o número de ratos existentes daqui a 9 anos;
b) o número de ratos vivos daqui a 18 anos, se ainda existir.

Answer 1

Precisamos saber o valor dessas duas constantes, e ele nos deu valores importantes no enunciado.
Ele disse que o número de ratos vivos hoje é de 16000, na função esse "hoje" seria representado pelo 0. Se t é a quantidade de anos, o "hoje" então seria o instante 0.

$P(0)=Co*2^{-k*0}\\ 16000=Co*2^0\\ 16000=Co*1\\ \boxed{Co=16000}$

Agora vamos descobrir o k.
$8000=16000*2^{-3k}\\ 8=16*2^{-3k}\\ 2^3=2^4*2^{-3k}\\ \not2^3=\not2^{-3k+4}\\ 3=-3k+4\\ k = \dfrac{1}{3}$

Portanto nossa função fica:
$P(t)=16000*2^{\frac{-t}{3}}$

Agora vamos calcular a nossa questão... Uffa haha.
a)
$P(9) = 16000*2^{\frac{-9}{3}}\\ P(9) = 16000*2^{-3}\\ P(9) = \dfrac{16000}{8}\\\\ \boxed{P(9)= 2000}$

b)
$P(18) = 16000*2^{\frac{-18}{3}}\\ P(18) = 16000*2^{-6}\\ P(18) = \dfrac{16000}{64}\\\\ \boxed{P(18) = 250}$