Question

A população de certo tipo de bactérias estudado por um pesquisador foi
modelada da seguinte forma: f(t) = a · log2(t + 1) + bt2 + 300, onde t representa o
tempo em horas no qual o pesquisador começou a observar essa população. O instante t = 0 ´e o início das observações, quando havia 300 bactérias nessa população. Suponha que, nos instantes t = 1 e t = 3, o número de bactérias era 350 e 540, respectivamente. Baseando-nos nessas informações, podemos afirmar que o aumento percentual no número de bactérias do instante t = 3 para t = 7 está entre
a) 65% e 75%
b) 180% e 190%
c) 35% e 45%
d) 150% e 160%

Answer 1

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$\Huge\green{\boxed{\rm~~~\red{d)}~\blue{150\%~e~160\%}~~~}}$

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$\bf\large\green{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad}}$

$\green{\rm\underline{EXPLICAC_{\!\!\!,}\tilde{A}O\ PASSO{-}A{-}PASSO\ \ \ }}$✍

❄☃ $\sf(\gray{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

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☺lá, Priscila, como tens passado nestes tempos de quarentena⁉ E os estudos à distância, como vão⁉ Espero que bem❗ Acompanhe a resolução abaixo, feita através de algumas manipulações algébricas. ✌

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$\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍

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$\large\gray{\boxed{\rm\blue{ f(t) = a \cdot log_2(t + 1) + b \cdot t^2 + 300 }}}$

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☔ Analisando nossa função para t = 1 temos

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➡ $\large\sf\blue{ 350 = a \cdot log_2(1 + 1) + b \cdot 1^2 + 300 }$

➡ $\large\sf\blue{ 350 = a \cdot log_2(2) + b \cdot 1 + 300 }$

➡ $\large\sf\blue{ 350 = a \cdot 1 + b + 300 }$

➡ $\large\sf\blue{ 350 - 300 = a + b }$

➡ $\large\sf\blue{ a + b = 50 }$

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☔ Analisando nossa função para t = 3 temos

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➡ $\large\sf\blue{ 540 = a \cdot log_2(3 + 1) + b \cdot 3^2 + 300 }$

➡ $\large\sf\blue{ 540 = a \cdot log_2(4) + b \cdot 9 + 300 }$

➡ $\large\sf\blue{ 540 = a \cdot 2 + 9b + 300 }$

➡ $\large\sf\blue{ 540 - 300 = 2a + 9b }$

➡ $\large\sf\blue{ 2a + 9b = 240 }$

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☔ Considerando nosso pequeno sistema com duas equações e duas variáveis da forma

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$\begin{cases}\large\sf\blue{I)~a + b = 50 }\\\\ \large\sf\blue{II)~2a + 9b = 240 } \end{cases}$

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temos de I) que

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➡ $\large\sf\blue{ a = 50 - b }$

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e de I) em II) temos que

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➡ $\large\sf\blue{ 2 \cdot (50 - b) + 9b = 240 }$

➡ $\large\sf\blue{ 100 - 2b + 9b = 240 }$

➡ $\large\sf\blue{ 7b = 240 - 100 }$

➡ $\large\sf\blue{ 7b = 140 }$

➡ $\large\sf\blue{ b = \dfrac{140}{7} }$

➡ $\large\sf\blue{ b = 20 }$

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e de volta em I) temos

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➡ $\large\sf\blue{ a = 50 - 20 }$

➡ $\large\sf\blue{ a = 30 }$

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☔ Nossa função de crescimento portanto é da forma

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$\large\gray{\boxed{\rm\blue{ f(t) = 30 \cdot log_2(t + 1) + 20 \cdot t^2 + 300 }}}$

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☔ Com essa informação vamos então encontrar a quantidade de bactérias para t = 7

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➡ $\large\sf\blue{ f(7) = 30 \cdot log_2(7 + 1) + 20 \cdot 7^2 + 300 }$

$\large\sf\blue{ = 30 \cdot log_2(8) + 20 \cdot 49 + 300 }$

$\large\sf\blue{ = 30 \cdot 3 + 980 + 300 }$

$\large\sf\blue{ = 90 + 980 + 300 }$

$\large\sf\blue{ = 1.370 }$

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☔ Por fim, 1.370 corresponde à

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➡ $\large\sf\blue{ \dfrac{1.370}{540} \approx 2,537 = 253,7 \% }$

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ou seja, o aumento percentual de 540 para 1.370 foi de

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➡ $\large\sf\blue{253,7 - 100 = 153,7 \% }$

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$\Huge\green{\boxed{\rm~~~\red{d)}~\blue{150\%~e~160\%}~~~}}$ ✅

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$\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

☕ $\bf\Large\blue{Bons\ estudos.}$

($\large\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄

$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX$✍

❄☃ $\sf(\gray{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

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$\gray{"Absque~sudore~et~labore~nullum~opus~perfectum~est."}$

Answer 2

Resposta:

d)

Explicação passo-a-passo:

Sendo $f(1)=350$, temos que:

$a\cdot \log_2(1+1)+b\cdot 1^2+300=350$

$a\cdot \log_22+b+300=350$

$a\cdot 1+b=50$

$a+b=50$

Da mesma forma, sendo $f(3)=540$, ficamos com:

$a\cdot \log_2(3+1)+b\cdot3^2+300=540$

$a\cdot \log_24+b\cdot9+300=540$

$a\cdot \log_2(2^2)+9b+=240$

$a\cdot 2\log_22+9b+=240$

$a\cdot 2+9b+=240$

$2a+9b+=240$

Ficamos então com o seguinte sistema:

$\left\{\begin{matrix}a+b=50\;(\times-2)\\2a+9b=240\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}-2a-2b=-100\\2a+9b=240\end{matrix}\right.$

Somando os termos de ambas as equações:

$-2a+2a-2b+9b=-100+240$

$7b=140\therefore b=20$

Sendo $a+b=50$, $a=50-b=50-20=30$, concluindo assim que $f(x)=30\log_2(t+1)+20t^2+300$. Temos então que:

$f(7)=30\log_2(7+1)+20\cdot7^2+300$

$f(7)=30\log_2(8)+20\cdot49+300$

$f(7)=30\log_2(2^3)+980+300$

$f(7)=30\cdot 3\log_22+1.280$

$f(7)=30\cdot 3+1.280$

$f(7)=1.370$

Sendo 540=100% das bactérias no instante $t=3$, 1.370 equivale a $\frac{1.370}{540}\cong 2,537$ de 540, ou cerca de 253,7% do valor inicial. Tivemos então um aumento aproximado de 253,7-100=153,7% no número de bactérias.