Question

A população de certa espécie animal, em uma região da Amazônia, é estimada pela lei P=300 + 50.sen (π/18.t), sendo t o tempo, em meses, contados a partir de hoje (t=0). Sendo k um inteiro positivo, uma expressão que fornece os tempos - e apenas esses tempos -, em meses, a partir de hoje, para os quais a população dessa espécie está estimada em 325 animais, pode ser:

a) t=6 + 36k OU t=21 +36k
b) t=6 + 9k OU t=21 + 9k
c) t=3 + 36k OU t=15 + 36k
d) t=3 + 9k OU t=15 + 9k
e) t=9 + 24k OU t=18 + 24k

Answer 1

Alternativa C:  t = 3 + 36k ou t = 15 + 36k

Inicialmente, vamos substituir o valor de P=325, referente ao número de animais. Com isso, vamos determinar um valor referente ao seno da parcela entre parênteses.

$325=300+50sen(\frac{\pi t}{18}) \\ \\ 25=50sen(\frac{\pi t}{18}) \\ \\ sen(\frac{\pi t}{18})=\frac{1}{2}$

Agora, veja que temos o seno igual a 1/2 com os ângulos de 30º e de 150º. Em radianos, esses valores são equivalentes a, respectivamente, π/6 e 5π/6. Vamos igualar esses dois ângulos, em radianos, ao valor referente ao seno da equação e determinar o valor de t.

$\frac{\pi t}{18}=\frac{\pi}{6}\\ \\ t=\frac{18}{6}=3\\ \\ \\ \frac{\pi t}{18}=\frac{5 \pi}{6}\\ \\ t=\frac{5\times 18}{6}=15$

Note ainda que devemos somar a parcela K, pois existem infinitos ângulos que satisfazem essas condições, dependendo do número de voltas. Esse valor será 36k, referente a volta completa da circunferência.