Question

A planilha apresentada pelo topógrafo apresentou os seguintes dados para os vértices do polígono:

A= (2, 6, -5);

B= (6, 9, 7);

C= (5, 5, 0);

D= (3, 10, 2).

Answer 1

Completando a questão:

Logo, utilizando os conceitos da Geometria Analítica aprendidos ao longo do semestre:

Demonstre, através de equações e resoluções das mesmas, que esses vértices pertencem ou não a um paralelogramo, anexando a memória de cálculos e desenho da imagem.

Solução

Se A = (2,6,-5), B = (6,9,7), C = (5,5,0) e D = (3,10,2) forem vértices de um paralelogramo, então:

Os lados opostos são congruentes e paralelos e as diagonais se interceptam no ponto médio.

Ao desenhar o quadrilátero, podemos perceber que os lados opostos são AC e BD, AD e BC.

Sendo assim, vamos definir os vetores AC, BD, AD e BC:

AC = (3, -1, 5)

BD = (-3, 1, -5)

AD = (1, 4, 7)

BC = (-1, -4, -7).

Podemos perceber que os vetores AC e BD, AD e BC são Linearmente Dependentes. Portanto, os segmentos AC e BD, AD e BC são paralelos.

Além disso, podemos perceber que os segmentos AC e BD, AD e BC são congruentes entre si.

Agora, vamos calcular o ponto médio das diagonais AB e CD:

$M(AB) = (\frac{2+6}{2},\frac{6+9}{2},\frac{-5+7}{2}) = (4,7.5,1)$

$M(CD) = (\frac{5+3}{2},\frac{5+10}{2},\frac{0+2}{2}) = (4,7.5,1)$.

Portanto, podemos concluir que os pontos A, B, C e D são vértices de um paralelogramo.