Question

A planilha apresentada pelo topógrafo apresentou os seguintes dados para os vértices do polígono:
A= (2, 6, -5);
B= (6, 9, 7);
C= (5, 5, 0);
D= (3, 10, 2).
Logo, utilizando os conceitos da Geometria Analítica aprendidos ao longo do semestre:
Demonstre, através de equações e resoluções das mesmas, que esses vértices pertencem ou não a um paralelogramo.

Answer 1

Se o quadrilátero for um paralelogramo, então:

Os seus lados são paralelos e congruentes dois a dois e as duas diagonais interceptam no ponto médio.

Sendo A = (2,6,-5), B = (6,9,7), C = (5,5,0), D = (3,10,2) os vértices do quadrilátero, então perceba que os lados opostos são: AC e BD, AD e BC.

Vamos determinar os vetores AC, BD, AD e BC:

AC = (3, -1, 5)

BD = (-3, 1, -5)

AD = (1, 4, 7)

BC = (-1, -4, -7)

Perceba que os vetores são Linearmente Dependentes dois a dois. Portanto, os lados do quadrilátero são paralelos. Também podemos perceber que os lados são congruentes dois a dois.

Agra precisamos calcular o ponto médio das diagonais AB e CD:

$M(A,B) = (\frac{6+2}{2}, \frac{6+9}{2} ,\frac{-5+7}{2})$

M(A,B) = (4,7.5,1)

$M(C,D) = (\frac{5+3}{2}, \frac{5+10}{2} ,\frac{0+2}{2})$

M(C,D) = (4,7.5,1)

Portanto, podemos concluir que os pontos A, B, C e D são vértices de um paralelogramo.