Question

A planilha apresentada pelo topógrafo apresentou os seguintes dados para os vértices do polígono:

A= (2, 6, -5);

B= (6, 9, 7);

C= (5, 5, 0);

D= (3, 10, 2).

Logo, utilizando os conceitos da Geometria Analítica aprendidos ao longo do semestre:

Demonstre, através de equações e resoluções das mesmas, que esses vértices pertencem ou não a um paralelogramo, anexando a memória de cálculos e desenho da imagem (manuscrito ou programa do office).

Answer 1

Sabemos que:

As diagonais de um paralelogramo se encontram no ponto médio;

Os lados opostos são paralelos e congruentes.

Sendo A = (2,6,-5), B = (6,9,7), C = (5,5,0) e D = (3,10,2), temos que os lados opostos são AD e BC, AC e BD. Já as diagonais são AB e CD.

Primeiramente, vamos definir os vetores AD e BC, AC e BD:

AD= (1, 4, 7)

BC = (-1, -4,-7)

AC = (3, -1, 5)

BD = (-3, 1, -5)

Logo, os vetores AD e BC, AC e BD são Linearmente Dependentes, sendo assim, os segmentos AD e BC, AC e BD são paralelos entre si.

Perceba que os segmentos AD e BC, AC e BD são congruentes.

Agora, vamos calcular o ponto médio das diagonais AB e CD:

$M(A,B) =(\frac{6+2}{2},\frac{6+9}{2},\frac{-5+7}{2}) = (4,7.5,1)$

$M(C,D) =(\frac{3+5}{2},\frac{5+10}{2},\frac{2+0}{2}) = (4,7.5,1)$

Portanto, as diagonais se interceptam no ponto médio.

Logo, podemos concluir que os vértices são de um paralelogramo.