Question

A Pergunta é Para nível superior!

Prove que o elemento neutro da adição é único.

Answer 1

✅ Após finalizar a demonstração, concluímos que o elemento neutro da adição é:

                                     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \acute{U}nico\:\:\:}}\end{gathered} }$

"Já sabemos que '0' é o elemento neutro da adição. Pois, se adicionarmos '0' a qualquer outro número, o resultado não se altera."

Pois bem, seja a proposição:

    "O número '0' é o único elemento neutro da adição."

Reescrevendo a proposição na forma "se/então", temos:

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\underbrace{Se\:0\:\acute{e}\:o\:elemento\:neutro\:da\:adic_{\!\!,}\tilde{a}o}_{\bf Hip\acute{o}tese = p},\:\underbrace{ent\tilde{a}o\:ele\:\acute{e}\:\acute{u}nico\:}_{\bf Tese = q} \end{gathered} }$

Para provarmos a unicidade do elemento neutro da adição podemos utilizar a técnica de demonstração "Redução ao Absurdo". Por meio desta técnica, devemos provar que quando, simultaneamente, afirmamos a hipótese e negamos a tese, obtemos por conseguinte, uma contradição "c", ou seja:

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}p\wedge\sim q\Longrightarrow c \end{gathered}$

Supondo - por "Absurdo" - que existe dois elementos neutros para a operação de adição, que são, respectivamente:

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered}0\:e\:\bar{0},\:\:\:tal\:que\:0 \ne\bar{0} \end{gathered}$

Sendo "x" um número qualquer, temos:

                                     $\Large\begin{cases}x + 0 = x\\ x + \bar{0} = x\end{cases}$

Então temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(I) \end{gathered}$                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} x = x\end{gathered}$

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}x + 0 = x + \bar{0} \end{gathered}$

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered}x - x + 0 = \bar{0} \end{gathered}$                  

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}0 + 0 = \bar{0} \end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(II) \end{gathered}$                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} 0 = \bar{0}\end{gathered}$

Se a equação "II" afirma que:

                                          $\Large\displaystyle\begin{gathered}0 = \bar{0} \end{gathered}$

Então, isso significa que a nossa suposição inicial...

                                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} 0 \ne\bar{0}\end{gathered}$

...de fato, foi absurda.

✅ Portanto, concluímos que o elemento neutro da adição - o número "0" - de fato é único.

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Answer 2

Seja n e n' elementos neutros da operação + e que eles pertencem a um dado conjunto F. Como n é elemento neutro então:

n + a = a, ∀ a ∈ F

Então se isso vale para todo elemento de G então vale para o elemento n':

n + n' = n' ( 1 )

Como n' é elemento neutro de F então:

a + n' = a, ∀ a ∈ F

Logo também para n temos:

n + n' = n ( 2 )

Logo vemos de ( 1 ) e ( 2 ):

n = n'

Portanto, o elemento neutro da adição é único.