Question

a partir dos valores de sen 60, cos 60, sen 45 e cos 45, determine o cos 105

Answer 1

Pode-se escrever o cosseno de 105° como:
$cos ~105^\circ = cos ~(60^\circ + 45^\circ)$

Utilizando-se da fórmula da soma de arcos podemos chegar no cos 105°. Observe:
$cos ~(60^\circ + 45^\circ) = cos ~60^\circ \cdot cos ~45^\circ - sen ~60^\circ \cdot sen ~45^\circ \\ \\ cos ~105^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{ \sqrt{2} }{2} - \frac{ \sqrt{3} }{2} \cdot \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \\ cos ~105^\circ = \frac{ \sqrt{2} }{4} - \frac{ \sqrt{6} }{4} \\ \\ \boxed{cos ~105^\circ = \frac{ \sqrt{2} - \sqrt{6} }{4}}$

Answer 2

Vamos lá.

Pede-se o valor de cos(105º), sabendo-se o valor do cos(60º);  do cos(45º); do sen(60º) e do sen(45º).

Antes de iniciar, veja que:

cos(a+b) = cos(a).cos(b) - sen(a).sen(b)


Assim, tendo, portanto a relação acima como parâmetro, então o cos(105º) será:

cos(105º) = cos(60º+45º) ----- Assim, desenvolvendo, teremos;

cos(60º+45º) = cos(60º).cos(45º) - sen(60º).sen(45º)

Agora veja que:

cos(60º) = 1/2
cos(45º) = √(2)/2
sen(60º) = √(3)/2
sen(45º) = √(2)/2 .

Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:

cos(60º+45º) = (1/2)*[√(2)/2] - [√(3)/2]*[√(2)/2]
cos(60º+45º) = 1*√(2)/2*2 - √(3)*√(2)/2*2
cos(60º+45º) = √(2)/4 - √(3*2)/4
cos(60º+45º) = √(2)/4 -- √(6)/4 ---- como tudo está sob o mesmo denominador, então poderemos fazer isto:

cos(60º+45º) = [√(2) - √(6)]/4<-- Esta é a resposta. Este é o valor de cos(105º).


Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.