Question

A partir do triângulo retângulo da figura, demonstre que sen² 0+ cos² 0 = 1.​

Answer 1

Resposta:

Isso é uma fórmula geral.

Explicação passo-a-passo:

Sen²Θ = b²/a²

Cos²Θ = c²/a²

Sen²Θ + Cos²Θ = b²/a² + c²/a² = (b² + c²)/a² = (pelo teorema de pitágoras) a²/a² = 1

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Answer 2

Resposta:

Para demonstrar que sen²x + cos²x = 1 vamos precisar do teorema de Pitágoras, a² = b² + c².

Agora para algumas propriedades trigonométricas no triângulo retângulo:

Sabemos que o seno de um ângulo x pode ser encontrado divindo o cateto oposto a este ângulo pela hipotenusa, então:

$senx = \frac{b}{a}$

Sabemos também que o cosseno de um ângulo x pode ser encontrado dividindo o cato adjacente ao ângulo pela hipotenusa, então:

$cosx = \frac{c}{a}$

Agora voltando ao teorema de Pitágoras, como temos o número 1 multiplicando a², podemos reescrever o teorema da seguinte forma:

$\frac{b^2+c^2}{a^2} = 1$

(Note que simplesmente dividimos a equação por a² dos dois lados, dividindo a² por a² teremos 1 e dividindo b²+c² por a² teremos $\frac{b^2+c^2}{a^2}$).

Agora que temos essa nova equação, vamos elevar o seno e o cosseno ao quadrado:

$sen^2x = (\frac{b}{a}) ^2$ ⇒ $\frac{b^2}{a^2}$

$cos^2x = (\frac{c}{a})^2$ ⇒ $\frac{c^2}{a^2}$

Como as duas frações têm bases iguais, podemos somá-las:

$\frac{b^2}{a^2} + \frac{c^2}{a^2} = \frac{b^2 + c^2}{a^2}$

Nós reconhecemos essa equação de alguns instantes atrás, quando vimos que $\frac{b^2+c^2}{a^2} = 1$.

Portanto, se $\frac{b^2+c^2}{a^2} = 1$ e $sen^2x + cos^2x = \frac{b^2+c^2}{a^2}$, $sen^2x + cos^2x = 1$.