Question

A partir do ponto P e do plano abaixo, assinale alternativa que corresponde a distância entre este ponto à este plano . P = (1,3,4) π:x = (1,0,0) + λ(1,0,0) + μ(-1,0,3)

Answer 1

Olá.

Para o plano $\pi$ dado, temos que os vetores $(1,0,0)$ e $(-1,0,3)$ formam um conjunto LI usado para determinar o plano. Assim, o produto vetorial desses vetores nos fornece o vetor normal ao plano.

$(\hat i)\times (-\hat i + 3\hat k) = -3\hat j$

Veja bem: Se -3j é normal ao plano, então j também é normal. Qual o plano que é normal ao unitário j? É o plano y = 0[Veja que isso é coerente com a equação paramétrica dada].


A distância do ponto P ao plano é o módulo da projeção de um vetor $P_1P$ sobre o unitário normal ao plano. Esse ponto P1 é um ponto qualquer do plano(vamos tomar (1, 0, 0), por conveniência).

$d =\dfrac{|P_1P\bullet \vec{n}|}{\|\vec n\|} = \dfrac{|[(1,3,4) - (1,0,0)]\bullet (0,1,0)\|}{\|\vec j\|}\\ \\ d = \dfrac{|(0,3,4)\bullet (0,1,0)|}{1} = |0\cdot0+3\cdot 1+ 4\cdot0|\\ \\ \\ \boxed{d = 3}$

Veja que é consistente com o fato de que como o plano é y = 0, a distância do ponto a ele será sua coordenada y.

Qualquer dúvida, comente!

(Obs.: Fiz do modo mais 'complicado' porque ele pode ser realizado em qualquer caso)