Question

A partir do gráfico, calcule o valor de “a”, sabendo que a parábola representa a função f:R→R / f(x)=ax2+bx+c.

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Olá.

Forma geral da equação de 2º grau:      $y=ax^{2} +bx +c$

Coeficientes: a, b e c.

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Deixo aqui como complemento para você três informações importantes que irão te ajudar em outros exercícios. A terceira, sobre b não é geralmente ensinada na época da escola. Sempre procurei por ela, e ela está aqui para você. Aproveite, anote essas três.

O coeficiente a determina a concavidade da parábola:

a > 0 : concavidade para cima

a < 0 : concavidade para baixo

O coeficiente c  determina onde a parábola corta o eixo y, pois para x = 0 temos f(x) = c. Ele é chamado de coeficiente linear.

c > 0: a parábola corta o eixo Y acima da origem;

c < 0: a parábola corta o eixo Y abaixo da origem;  

c = 0, a parábola corta o eixo Y na origem, ou seja, ponto (0,0).

O coeficiente b determina a inclinação da parábola após passar o eixo Y.

Se b<0, a partir do ponto de corte do eixo Y a curvatura da parábola irá descer;

Se b >0, a partir do ponto de corte do eixo Y a curvatura da parábola irá subir;

Se b = 0, após o ponto de corte não haverá inclinações.

Observando o gráfico podemos já saber que

a > 0, pois a concavidade está para cima

b < 0, pois a parábola desce quando toca o eixo Y

c > 0, pois a parábola corta o eixo Y acima da origem

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Vamos fazer as contas novamente, de forma mais simples e direta, através de substituições.

Apesar do gráfico estar com os números deslocados, se olharmos com calma veremos que a função está tocando o eixo x em x=2 e x=4. Então o gráfico nos dá 3 pontos na forma (x,y): (3,-2), (2,0), (4,0).

Substituindo os valores de x e de y na forma básica da função quadrática, teremos:

y = ax² -bx +c

(3,-2): -2 = 9a +3b +c  (I)

(2,0): 0 = 4a +2b +c    (II)

(4,0): 0 = 16a +4b +c   (III)

Isolemos c em (I) e substituamos em (II) e (III):

c= -9a -3b -2

(II) 4a +2b +c = 0

4a +2b +(-9a -3b -2) = 0

-5a -b -2 = 0   (IV)

(III) 16a +4b +c = 0

16a +2b +(-9a -3b -2) = 0

7a +b -2 = 0   (V)

Unindo (IV) e (V), obtemos um sistema de duas equações:

-5a -b -2 = 0

7a +b -2 = 0

cujo resultado é:

2a -4 = 0

a = 2

Pronto. Encontramos a.

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Por curiosidade (amo matemática) resolvi ir até o final e encontrar a equação da função. Isso pode ser útil para você em outros exercícios....

Substituímos a nas equações anteriores para encontrarmos b e c:

-5a -b -2 = 0

-5(2) -b -2 = 0

-10 -b -2 = 0

b = -12

c = -9a -3b -2

c = -9(2) -3(-12) -2

c = 18 +36 -2

c = 16

Portanto, a equação quadrática é:

f(x) = 2x² -12x +16

Como pode ver nas explicações iniciais,

a =2 > 0. É positivo, por isso a concavidade é para cima.

b = -12 < 0. É negativo, por isso o gráfico desce depois de tocar o eixo Y.

c = 16 > 0 é o coeficiente linear, onde o gráfico toca o eixo Y. É maior que zero, por isso o gráfico corta o eixo Y acima da origem.

Beleza?

Abraços.