Question

A partir de um quadrado de lado de 4 cm constrói se um novo quadrado ligando-se os pontos médios de seus lados. Ligando-Se os pontos médios dos lados desse novo quadrado obtem-se um terceiro quadrado, e assim sucessivamente, como sugerido na figura em anexo.
Qual será a soma das medidas dos lados dos cinco primeiros quadrados?

Resposta: 7+3 √2 cm
Gostaria de entender os cálculos

Answer 1

=> Note que a diagonal do quadrado anterior vai ser a medida do lado do quadrado seguinte

assim temos o 1º quadrado com 4 cm de lado ...por Pitágoras:

H² = 4² + 4²

H² = 32 ...donde H = √32 = 4√2 <--- medida do lado do 2º quadrado

vamos calcular a razão:

razão (q) = a2/a1 = 4√2/4 = √2 <--- razão da PG

Agora a fórmula da soma:

S(n) = a1(1 - q^n)/(1 - q)

S(5) = 4(1 - (√2)^5)/(1 - √2)

S(5) = 4(1 - √(2^5))/(1 - √2)

...note que √(2^5) = 4√2 ..donde resulta

S(5) = 4(1 - 4√2)/(1 - √2)

S(5) = (4 - 16√2)/(1 - √2)

...vamos racionalizar o denominador

S(5) = (4 - 16√2)(1 + √2)/(1 - √2)(1 + √2)

S(5) = (4 - 16√2 + 4√2 - 16.2)/(1 + √2 - √2 - 2)

S(5) = (- 12√2 - 28)/(-1)

S(5) = + 12√2 + 28

ordenando:

S(5) = + 28 + 12√2

...simplificando (dividindo por 4)

S(5) = + 7 + 3√2



Espero ter ajudado