A partir de um ponto observa-se o topo de um prédio sob um ângulo de 30º. Caminhando 24m em direção ao prédio, atingimos outro ponto, de onde se vê o topo do prédio segundo um ângulo de 60º. Desprezando-se a altura do observador, calcule, em metros, a altura do prédio.
Soluções para a tarefa
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Primeira distância (horizontal) = x
altura do prédio = y
tg 30 = y/x
y/x = \/3/3
Segunda distância = x-24
tg 60 = y / (x-24)
y / (x-24) = \/3
y\/3 = x-24 --> y = (x-24)/ \/3
3y = x\/3/3 --> y = x\/3/3 . 1/3 ---> y = x\/3/9
(x-24)/ \/3 = x\/3/9
9.(x-24) = x\/3.\/3
9.(x-24) = 3x :(3)
3.(x-24) = x
3x-72 = x
3x-x = 72
2x = 72
x = 72/2
x = 36
y/x = \/3/3
y/36 = \/3/3
y = 36\/3 / 3
y = 12\/3 m
... (supondo \/3 ~ 1,73, y = 12 .1,73 --> y ~ 20,76 m
altura do prédio = y
tg 30 = y/x
y/x = \/3/3
Segunda distância = x-24
tg 60 = y / (x-24)
y / (x-24) = \/3
y\/3 = x-24 --> y = (x-24)/ \/3
3y = x\/3/3 --> y = x\/3/3 . 1/3 ---> y = x\/3/9
(x-24)/ \/3 = x\/3/9
9.(x-24) = x\/3.\/3
9.(x-24) = 3x :(3)
3.(x-24) = x
3x-72 = x
3x-x = 72
2x = 72
x = 72/2
x = 36
y/x = \/3/3
y/36 = \/3/3
y = 36\/3 / 3
y = 12\/3 m
... (supondo \/3 ~ 1,73, y = 12 .1,73 --> y ~ 20,76 m
Respondido por
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A situação descrita no enunciado encontra-se na figura em anexo, na qual os pontos A, B, C e D determinam dois triângulos que vão permitir a resposta da questão:
- O ponto A é o ponto de onde o prédio foi visto sob um ângulo de 30º.
- O ponto D é o ponto de onde o prédio foi visto sob um ângulo de 60º.
- A distância AD é igual a 24 m
- BC é o prédio
Inicialmente, vamos considerar o triângulo ACD. Nele, conhecemos:
- ∡ A = 30º
- Lado AD = 24 m
Neste triângulo, o ∡ ADC é ângulo externo do triângulo BCD. Como o ∡ BDC mede 60º,, temos:
∡ ADC = 180º - ∡ BDC
∡ ADC = 180º - 60º
∡ ADC = 120º
Então, no triângulo ACD o ∡ C mede 30º, pois a soma dos ângulos internos deste triângulo é igual a 180º:
∡ C = 180º - ∡ A - ∡ ADC
∡ C = 180º - 30º - 120º
∡ C = 30º
Como neste triângulo ACD os ângulos A e D medem 30º, concluímos que ele é isósceles, e os lados AD e DC são iguais. Ou seja,
CD = AD = 24 m
Vamos agora, verificar o que acontece no triângulo BCD:
- Ele é retângulo (o prédio é perpendicular ao chão)
- CD é a sua hipotenusa
- O prédio (BC) é cateto oposto ao ângulo de 60º
Então, se aplicarmos a este triângulo a função trigonométrica seno, teremos:
sen 60º = cateto oposto ÷ hipotenusa
sen 60º = BC ÷ CD
sen 60º = BC ÷ 24 m
BC = sen 60º × 24 m
BC = 0,866 × 24 m
BC = 20,78 m
R.: A altura do prédio é igual a 20,78 m
- O ponto A é o ponto de onde o prédio foi visto sob um ângulo de 30º.
- O ponto D é o ponto de onde o prédio foi visto sob um ângulo de 60º.
- A distância AD é igual a 24 m
- BC é o prédio
Inicialmente, vamos considerar o triângulo ACD. Nele, conhecemos:
- ∡ A = 30º
- Lado AD = 24 m
Neste triângulo, o ∡ ADC é ângulo externo do triângulo BCD. Como o ∡ BDC mede 60º,, temos:
∡ ADC = 180º - ∡ BDC
∡ ADC = 180º - 60º
∡ ADC = 120º
Então, no triângulo ACD o ∡ C mede 30º, pois a soma dos ângulos internos deste triângulo é igual a 180º:
∡ C = 180º - ∡ A - ∡ ADC
∡ C = 180º - 30º - 120º
∡ C = 30º
Como neste triângulo ACD os ângulos A e D medem 30º, concluímos que ele é isósceles, e os lados AD e DC são iguais. Ou seja,
CD = AD = 24 m
Vamos agora, verificar o que acontece no triângulo BCD:
- Ele é retângulo (o prédio é perpendicular ao chão)
- CD é a sua hipotenusa
- O prédio (BC) é cateto oposto ao ângulo de 60º
Então, se aplicarmos a este triângulo a função trigonométrica seno, teremos:
sen 60º = cateto oposto ÷ hipotenusa
sen 60º = BC ÷ CD
sen 60º = BC ÷ 24 m
BC = sen 60º × 24 m
BC = 0,866 × 24 m
BC = 20,78 m
R.: A altura do prédio é igual a 20,78 m
Anexos:
alan15dantas:
valeu '-'
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