Question

A partir de um conjunto de 18 bolas iguais, a não ser pela cor ( 7 são brancas, 5 pretas e 6 amarelas), serão formados grupos de 4 bolas. De quantas maneiras diferentes poderão ser formados esses grupos se não são desejáveis grupos que contenham bolas de uma única cor?

Answer 1

$C_{(n,p)} \ = \ \frac{n!}{(n \ - \ p)! \ \cdot \ p!} \\ \\ C_{(n,p)} \ \Rightarrow \ Combina\c{c}\~ao \ de \ n \ elementos \ em \ p \ vagas \\ (permuta\c{c}\~oes \ internas \ desconsideradas \ por \ p!)$

$O \ jeito \ mais \ f\'acil \ de \ se \ pensar \ nessas \ combina\c{c}\~oes \ \'e \ pelo \\ \bold{Complementar}. \\ \\ Seja \ N \ o \ conjunto \ de \ formas \ \bold{favor\'aveis}, \ K \ o \ de \ \bold{desfavor\'aveis} \\ e \ T \ o \ conjunto \ \bold{total}. \\ \\ N \ + \ K \ = \ T \ \rightarrow \ Um \ conjunto \ complementa \ o \ outro \ formando \\ o \ total \ / \ universo \ (pode-se \ pensar \ no \ diagrama \ de \ Venn \ tamb\'em)$

$Formas \ totais \ (T) \ \Rightarrow \\ \\ Vamos \ simplesmente \ combinar \ livremente \ as \ n\ = \ 18 \ bolas \ totais \\ nas \ p \ = \ 4 \ vagas \ poss\'iveis.$

$T \ = \ C_{(18,4)} \ \rightarrow \\ \\ T \ = \ \frac{18!}{14! \ \cdot \ 4!} \ \rightarrow \\ \\ T \ = \ \frac{18 \ \cdot \ 17 \ \cdot \ 16 \ \cdot \ 15 \ \cdot \ \not{14!}}{\not{14!} \ \cdot \ 4!} \ = \\ \\ \boxed{T \ = \ 3060 \ grupos \ totais \ diferentes}$

$Casos \ desfavor\'aveis \ \Rightarrow \\ \\ Vamos \ combinar \ todos \ os \ grupos \ com \ uma \ \'unica \ cor, \ ou \ seja, \\ justamente \ o contr\'ario \ do \ que \ queremos. \\ \\ Poderemos \ ter \ \bold{possibilidades \ independentes} \ \Rightarrow$

$Ou \ um \ grupo \ com \ s\'o \ brancas \ (n \ = \ 7 \ e \ p \ = \ 4) : \\ \\ C_{(7,4)} \ = \ \frac{7!}{3! \ \cdot \ 4!} \rightarrow \\ \\ \frac{7 \ \cdot \ \not{6} \ \cdot \ 5 \ \cdot \ \not{4!}}{\not{3!} \ \cdot \ \not{4!}} \ = \ \boxed{35 \ formas \ de \ se \ ter \ um \ grupo \ s\'o \ com \ bolas \ brancas}$

$Ou \ um \ grupo \ s\'o \ com \ pretas \ (n \ = \ 5 \ e \ p \ = \ 4) : \\ \\ C_{(5.4)} \ = \ \frac{5!}{1! \ \cdot \ 4!} \ \rightarrow \\ \\ \frac{5 \ \cdot \ \not{4!}}{1! \ \cdot \not{4!}} \ = \ \boxed{5 \ grupos \ s\'o \ com \ bolas \ pretas}$

$Ou \ um \ grupo \ s\'o \ com \ bolas \ amarelas \ (n \ = \ 6 \ e \ p \ = \ 4) : \\ \\ C_{(6,4)} \ = \ \frac{6!}{2! \ \cdot \ 4!} \ \rightarrow \\ \\ \frac{6 \ \cdot \ 5 \ \cdot \ \not{4!}}{2 \ \cdot \ \not{4!}} \ = \ \boxed{15 \ formas \ de \ se \ ter \ grupos \ s\'o \ com \ bolas \ amarelas}$

$Juntando \ tudo \ pela \ \bold{regra \ do \ OU}, \ teremos \ o \ K \ \longrightarrow \\ \\ K \ = \ 35 \ + \ 5 \ + \ 15 \ = \boxed{K \ = \ 55 \ grupos \ desfavor\'aveis}$

$Por \ fim, \ N \ + \ K \ = \ T : \\ \\ N \ + \ 55 \ = \ 3060 \ \rightarrow \\ \\ \boxed{\boxed{N \ = \ 3005 \ grupos \ poss\'iveis \ favor\'aveis \ \`a \ restri\c{c}\~ao}}$