Question

A partir de um Δ ABC equilátero de altura h, é construída uma seqüência de triângulos retângulos ( Δ BPQ, Δ QRS, Δ STU,...), conforme a figura acima.
Calcule a soma dos comprimentos de todas as hipotenusas dos triângulos retângulos na seqüência.

ALGUÉM ME AJUDA POR FAVOR

Answer 1

Bom dia 

Considere que em um triângulo retângulo com ângulos de 30º e 60º o cateto

menor mede a metade da hipotenusa  e se opõe ao ângulo de 30º.

Vamos representar ângulo com o símbolo  < .

No triângulo ABC  o  <B mede 60º   e  <PBC mede 30º .

Verifica-se que  ΔPBQ ,ΔQPR , ΔQRS , ΔSTU são triângulos semelhantes

com  ângulos de 30º e 60º.

Temos então que  OP é a metade de PB , QR é a metade de OP , RS é a

metade  de QR , ST é a metade de RS ...

Chamando PB de h , temos a sequencia :

$h , \frac{h}{2} , \frac{h}{4}, \frac{h}{8} , \frac{h}{16}, ...$

que são os termos de uma P.G. infinita de razão  1 / 2  , somando estes

termos :

$S_{\infty} = \frac{h}{1- \frac{1}{2} } = \frac{h}{ \frac{1}{2} } =2h \\ \\ h= \frac{l \sqrt{3} }{2} \Rightarrow S_{\infty}=2h=2* \frac{l \sqrt{3} }{2} =l \sqrt{3}$