Question

A partir das condições abaixo determine a função quadrática que satisfaz cada situação proposta:

Answer 1

O vértice é dado por:
(-b/2a; -∆/4a).(Pode comprovar derivando ax^2 + bx + c se quiser)

Como o vértice é -1;-3, sei que -b/2a=-1 e -∆/4a=-3, sendo ∆=b^2 -4ac. Mais ainda, se eu sei que passa pelo ponto -4,6, posso inserir em ax^2+bx+c. Sendo assim, terei 3 equações e 3 incógnitas.

ax^2 + bx +c =y
a(-4)^2 + b(-4) + c =6
16a-4b+c=6

-b/2a=-1
-b=-2a
b=2a

(-b^2+4ac)/4a=-3
-b^2 +4ac=-12a
-b^2 + 4ac+12a=0
-b^2 +4a(3+c)=0

Vou colocar 2a no lugar de b na primeira equação , isolar o c e aplicar tudo na 3.
16a-4b+c=6
16a-4(2a)+c=6
16a-8a+c=6
8a+c=6
c=6-8a

-b^2 + 4a(3+6-8a)=0
-b^2+4a(9-8a)=0
-(2a)^2 +36a-32a^2=0
-4a^2+4a=0
4a(-a+1)=0
Como a é diferente de zero(pois é uma parábola), chegamos que -a+1=0, ou seja, a=1.

Já que sabemos que b=2a e a=1, sabemos que b=2. O C é igual a 6-8a. Jogando a=1, achamos que C=6-8.1, out seja, C=-2
a=1, b=2, c=-2
y=ax^2+bx+c
y=x^2+2x-2

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Dhyka, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) A partir das informações abaixo, determine a função quadrática que satisfaz às situações propostas abaixo:

- passa no ponto (-4; 6) .

- o seu vértice é (-1; -3).

ii) Veja que uma função quadrática é aquela da forma: y = ax² + bx + c.

ii.1) Se ela passa no ponto (-4; 6), então quando substituirmos "x" por "-4", igualaremos "y" a "6". Assim, teremos que a função [y = ax² + bx + c] aí em cima, quando "x" for igual a "-4" e "y" igual a 6, teremos:

6 = a*(-4)² + b*(-4) + c ---- desenvolvendo, teremos:

6 = a*16 - 4b + c ----- ou apenas:

6 = 16a - 4b + c ----- ou, invertendo-se, teremos:

16a - 4b + c = 6     . (I).

ii.2) Se o seu vértice é dado por (-1; -3), note que o vértice de uma função quadrática é dado pela abscissa do vértice (xv) e pela ordenada do vértice (yv). Logo, teremos que o vértice (xv; yv) será:

(xv; yv) = (-1; -3) ---- agora note que tanto o "xv" como o "yv" têm fórmulas próprias para encontrá-los. São estas:

xv = -b/2a ----- substituindo-se "xv" por "-1", teremos:

-1 = -b/2a ---- note que poderemos multiplicar ambos os membros por "-1", ficando assim:

1 = b/2a ---- multiplicando-se em cruz, teremos:

2a*1 = b ---- ou apenas:

2a = b ------ ou, invertendo-se, o que dá no mesmo, teremos:

b = 2a     . (II).

e

yv = - (b²-4ac)/4a ---- substituindo-se "yv" por "-3", teremos:

-3 = - (b²-4ac)/4a ---- note que poderemos multiplicar ambos os membros por "-1" com o que ficaremos assim:

3 = (b²-4ac)/4a ---- multiplicando-se em cruz, teremos:

4a*3 = (b²-4ac) ----- desenvolvendo, temos:

12a = b² - 4ac ----- mas como "b" = 2a, conforme vimos na expressão (II), então teremos que:

12a = (2a)² - 4ac ----- desenvolvendo, teremos:

12a = 4a² - 4ac ---- simplificando-se cada fator por "a" iremos ficar apenas com:

12 = 4a - 4c ---- simplificando-se ambos os membros por "4", iremos ficar apenas com:

3 = a - c ----- passando "-c" para o 1º membro e passando "3" para o 2º membro, ficaremos com:

c = a - 3     . (III).

iii) Veja que ficamos com o seguinte sistema, formado pelas expressões (I), (II) e (III) e que são estas:

16a - 4b + c = 6      . (I).

b = 2a      . (II) .

c = a - 3     . (III).

iii.1) Agora vamos na expressão (I) e, nela, substituiremos "b" por "2a", conforme a expressão (II) e "c" por "a-3", conforme a expressão (III). Vamos apenas repetir a expressão (I), que é esta:

16a - 4b + c = 6 ----- substituindo-se "b" e "c" conforme vimos antes, teremos:

16a - 4*2a + a-3 = 6 ----- desenvolvendo, temos:

16a - 8a + a - 3 = 6 ----- continuando o desenvolvimento, temos:

9a - 3 = 6 ----- passando "-3" para o 2º membro, temos:

9a = 6 + 3

9a = 9

a = 9/9

a = 1 <--- Este será o valor do termo "a".

Agora, para encontrar o termo "b" vamos na expressão (II), que é esta:

b = 2a ---- substituindo-se "a" por "1", teremos:

b = 2*1  

b = 2 <--- Este será ol valor do termo "b".

Finalmente, para encontrar o valor do termo "c" vamos na expressão (III), que é esta:

c = a - 3 ---- substituindo-se "a" por "1", teremos:

c = 1 - 3

c = - 2 <--- Este é o valor do termo "c".

iv) Assim, a nossa função y = ax² + bx + c, após substituirmos os valores de "a" por "1", de "b" por "2" e de "c" por "-2" será esta:

y = 1*x² + 2*x + (-2) ----- desenvolvendo, teremos:

y = x² + 2x - 2 <---- Esta é a resposta. Ou seja, esta é a equação quadrática pedida, conforme as informações que foram dadas no enunciado da sua questão.

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.