Question

A partir da fórmula resolutiva de uma equação do 2º grau em x, estabeleça a relação que fornece o produto das raízes.

Answer 1

Pela fórmula resolutiva, temos que as raízes de uma equação do segundo grau na forma

$ax^{2}+bx+c=0$

onde $a,\;b,\;c \in \mathbb{R}$ e $a \neq 0$


são

$x_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\ \\ x_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$


Logo, o produto das raízes é

$x_{1}\cdot x_{2}=\left(\dfrac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \right )\cdot \left(\dfrac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \right )\\ \\ x_{1}\cdot x_{2}=\left(\dfrac{b^{2}-b\sqrt{b^{2}-4ac}+b\sqrt{b^{2}-4ac}-\left(\sqrt{b^{2}-4ac} \right )^{2}}{4a^{2}} \right )\\ \\ x_{1}\cdot x_{2}=\left(\dfrac{b^{2}-\left(b^{2}-4ac\right)}{4a^{2}} \right )\\ \\ x_{1}\cdot x_{2}=\left(\dfrac{b^{2}-b^{2}+4ac}{4a^{2}} \right )\\ \\ x_{1}\cdot x_{2}=\dfrac{4ac}{4a^{2}}\\ \\ x_{1}\cdot x_{2}=\dfrac{4a\cdot c}{4a\cdot a}\\ \\ \boxed{x_{1}\cdot x_{2}=\dfrac{c}{a}}$