Question

A partícula 01 está sujeita a uma aceleração a = - k v, a partícula 02 está
sujeita a a = - k t, e a partícula 03 a = - k s. Todas as três partículas partem da origem s = 0
com velocidade inicial v = 10 m / s no tempo t = 0 e o valor de k é o mesmo para todas as
três partículas, determine para as três partículas:
a) Avelocidade
b) O espaço

Answer 1

$p_1: a = -k*v(t)\\\\p_2: a = -k*t\\\\p_3: a = -k*s(t)$

PARTÍCULA 1

Com relação a partícula 1, sabendo que $a = \frac{dv}{dt}$ :

$\frac{dv}{dt} = -kv \rightarrow \frac{dv}{v} = -kdt$

Integrando os dois, com a velocidade indo de v0=10 para v e t0=0 para t:

$\int\limits^v_{10}{\frac{dv}{v}} = \int\limits^t_0 {-k} \, dt$

ln(v) - ln(10) = -kt

v(t) = 10$e^{-kt}$

Vamos integrar de novo:

$s(t) = \int{10e^{-kt}dt = -\frac{10}{k}*e^{-kt}+d$

Sabemos que s(0) = 0, logo:

s(0) = $\frac{-10}{k} + d = 0$

d = $\frac{10}{k}$

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$a_1(t)= -10ke^{-kt}$

$v_1(t) = 10e^{-kt}$

$s_1(t) = \frac{10}{k}*(1-e^{-kt})$

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PARTÍCULA 2

Vamos integrar a velocidade de $p_2$:

$v_2(t) = \int{-kt}\,dt = \frac{-k}{2}t^2 + c$

Sabemos que v(0) = 10, então:

$v_2(t) = -k*\frac{t^2}{2}+10$

Vamos integrar novamente:

$s_2(t) = \int{v_2(t)}\,dt = \frac{-k}{2}*\frac{t^3}{3} + 10t + d$

Sabemos que s(0) = 0, logo d=0.

$s_2(t) = \frac{-k}{6}*t^3 + 10t$

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$a_2(t)= -kt$

$v_2(t) = 10-k*\frac{t^2}{2}$

$s_2(t) = \frac{-k}{6}*t^3 + 10t$

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PARTÍCULA 3:

$a_3(t) = -ks$

Agora, aqui tem uma etapa que gastei vários minutos procurando para entender  o que estava acontecendo:

a = v * $\frac{dv}{ds}$. Por que?

$a = \frac{dv}{dt} \rightarrow \frac{dv}{dt}*\frac{ds}{ds} \rightarrow \frac{dv}{ds}*\frac{ds}{dt} \rightarrow v*\frac{dv}{ds}$

Com isso, basta integrarmos:

$v*\frac{dv}{ds} = -ks\\\\\int_0^s{-sds} = \int_{10}^v{\frac{vdv}{k}}$

$\frac{-s^2}{2} = \frac{1}{2k}(v^2-100)\\\\-ks^2 = v^2-100\\\\v^2 = 100-ks^2$

$v_3 = \sqrt{100-ks^2}$

Integrando de novo...:

$\frac{ds}{dt} = \sqrt{100-ks^2}\\\\t = \int_0^s{\frac{ds}{\sqrt{100-ks^2}}$

$t=\frac{1}{\sqrt{k}}*arcsen(\frac{\sqrt{k}}{10}s)$

$s_3(t) = \frac{-10}{\sqrt{k}}*sen(\sqrt{k}*t)$

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$a_3= -ks$

$v_3 = \sqrt{100-ks^2}$

$s_3 = \frac{-10}{\sqrt{k}}*sen(\sqrt{k}*t)$

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Espero ter ajudado :)