A parte lateral de uma caixa é obtida dobrando- se uma faixa retangular de papelão, de comprimento 60 cm, e largura 20 cm. Determine as dimensões x e y para que o volume da caixa seja máximo.
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Solução:Cálculo do volume da caixa volume = (área da base) . (altura) = x.y.20Relação entre x e y. Temos x + y + x + y = 60, logo; y = 30 - xExpressão do volume como função de x. Usando y = 30 - x, o volume é: volume = x(30 - x) . 20 = V(x) Devemos ter x > 0. Como y > 0, y = 30 - x nos diz que x < 30.Estudo da função V, dada por
V(x) = x(30 - x) . 20 = 600x - 20x² 0 < x < 30
Temos :
Igualando a 0 a derivada, obtemos 600 - 40x = 0; logo x = 15, que está no intervalo ]0, 30[.
Pelo critério da concavidade, 15 é ponto de máximo de V. Para esse valor temos que y = 30 - x = 30 - 15 = 15. Assim, x = y = 15cm.
V(x) = x(30 - x) . 20 = 600x - 20x² 0 < x < 30
Temos :
Igualando a 0 a derivada, obtemos 600 - 40x = 0; logo x = 15, que está no intervalo ]0, 30[.
Pelo critério da concavidade, 15 é ponto de máximo de V. Para esse valor temos que y = 30 - x = 30 - 15 = 15. Assim, x = y = 15cm.
Anexos:
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