Question

A parábola da figura é a representação gráfica da função quadrática $f(x) = a x^{2} +bx+c$. Os prontos A, B e C pertencem à função $f(x)$. (Imagem abaixo)

Logo, a soma das coordenadas do vértice dessa parábola é igual a ?

Answer 1

Primeiramente, encontrarei os valores de a, b e c utilizando a fórmula fatorada:

$y=a(x-x_1)(x-x_2)$

Considerando:

$x_1=-2$
$x_2=1$

$y=a(x-(-2))(x-1)$
$y=a(x+2)(x-1)$
$y=a(x^2-x+2x-2)$
$y=a(x^2+x-2)$

Para descobrirmos o valor de a, irei substituir as coordenadas do ponto (0;2) na função acima:

$2=a(0^2+0-2)$
$2=-2a$
$a=-1$

Substituindo esse valor de a na função temos:

$y=(-1)*(x^2+x-2)$
$y=-x^2-x+2$

Agora é possível encontrar as coordenadas do vértice

A coordenada x do vértice é exatamente a média aritmética das raizes $x_1$ e $x_2$.

$x_v=\frac{x_1+x_2}{2}$
$x_v=\frac{-2+1}{2}$
$x_v=-\frac{1}{2}$
$x_v=-0.5$

Agora, para encontrar o y do vértice é só substituir essa coordenada x na função encontrada.

$y=-x^2-x+2$
$y_v=-x_v^2-x_v+2$
$y_v=-(\frac{1}{2})^2-(-\frac{1}{2})+2$
$y_v=-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+2$
$y_v=\frac{-1+2+8}{4}$
$y_v=\frac{9}{4}$
$y_v=2.25$

Portanto, a soma das coordenadas do vértice será:

$x_v+y_v=-0.5+2.25=1.75\ ou\ \frac{7}{4}$

Bons estudos!