Question

A parábola abaixo representa o lucro mensal L (em reais) obtido em função do número de peças vendidas de um certo produto. (imagem abaixo)
Determine:
a) o número de peças que torna o lucro nulo;
b) o(s) valor(es) de x que torna(m) o lucro negativo;
c) o número de peças que devem ser vendidas para que o lucro seja de R$ 350,00.

Answer 1

a ) - Número de peças que torna o Lucro nulo.

Aqui temos que descobrir as raízes da função.

Do gráfico temos a raiz x = 100.

Também temos o valor x = 300 para o lucro máximo (800), esse valor de x divide a parábola ao meio, assim, a distância $\mathsf{300-100=200}$ é igual em ambos os lados.

Com isso ficamos com a segunda raiz sedo $\mathsf{300+200=500}$

O que implica que o lucro será ZERO quando o número de peças ventidas for igual a 100 ou 500.
___________________________________


b ) - Os valores de X que tornam o lucro negativo.

Do gráfico temos que o lucro será negativo nos pontos em que a parábola estiver abaixo do eixo x.

Com isso, temos que o lucro será negativo para x < 100 e x > 500.

Temos como conjunto solução:

$\boxed{\boxed{\maths{S:\ \{x\,\,\in\,\,R\,|\,x\,<\,100\,\,e\,\,x\,>\,500\}}}}$

_______________________________________________

c ) - Quantidade de peças para se chegar ao lucro de R$350,00

Primeiro vamos descobrir qual a função dessa parábola.

Uma função do segundo grau pode ser escrita como:

$\mathsf{f(x)=a(x-x_1)\,.\,(x-x_2)}$ sendo $\mathsf{x_1,x_2}$ as raízes da função.

Teremos:

$\mathsf{f(x)=a(x-100)(x-500)}$

Do gráfico temos que quando x = 300, f(x) = 800.

A fim de se descobrir a faz-se:

$\mathsf{a(300-100)(300-500)=800}\\ \\ \\ \mathsf{a(200)(-200)=800}\\ \\ \\\mathsf{a=\boxed{\,-\,\dfrac{1}{50}}}$

Com isso ficamos com

$\mathsf{f(x)=\dfrac{(x-100)\,.\,(x-500)}{50}\,\,\,\, \to \,\,\,\, f(x)=\,-\,\dfrac{x^{2}}{50}+12x-1000}$

Então:

$\mathsf{350=\,-\,\dfrac{x^{2}}{50}+12x-1000}\\ \\ \\ \mathsf{\dfrac{x^{2}}{50}-12x+1350=0}$

Por Bhaskara:

$\mathsf{x=\dfrac{-b\,\pm\,\sqrt{b^{2}-4\,.\,a\,.\,c}}{2\,.\,a}}$

Então:

$\mathsf{x_1=\dfrac{12+6}{1/25}\,\,\,\,\to\,\,\,\,\boxed{x_1=450} }\\ \\ \\ \mathsf{x_2=\dfrac{12-6}{1/25}}\,\,\,\,\to\,\,\,\ \boxed{x_2=150}}$